Teorema de Taniyama-Shimura

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El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil.[1] En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Enunciado[editar]

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

y^2 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que A, B, C y D son números racionales.

Una forma modular es una función analítica f:H -> C del semiplano superior H = {x+ iy: y>0} a los complejos C, tal que f satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas f(x) = f(x+N) para todo x y algún entero N fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica E con coeficientes racionales existe una forma modular f (de peso 2) tal que la serie L asociada a E y la serie L asociada a f coinciden. Esto equivale a que los coeficientes a_p asociados a la curva E (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo p, para p primo de buena reducción de E) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de f.


Historia[editar]

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.[2] Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.[3] Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Éste se suicidó a los 31 años en 1958, murió igual que Abel.

Citas[editar]

  1. Singh, 2007, p. 193
  2. Wiles, Andrew Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551
  3. Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. Contains the proof of the modularity theorem

Referencias[editar]

  • Aczel, Amir D.: El último teorema de Fermat, Fondo de cultura económica, México,publicado año 2003.