Teorema de la gráfica cerrada

En análisis funcional, el teorema de la gráfica cerrada establece lo siguiente:

Sean X e Y dos espacios de Banach, entonces todo operador f:X → Y lineal cuya gráfica sea un cerrado en el espacio topológico producto X×Y es continua.

Este teorema se demuestra usando el teorema de la función abierta, y es casi imprescindible para resolver ciertos problemas de análisis funcional que no se pueden resolver con técnicas menos avanzadas.

Corolario

Tiene un corolario, que es el que se suele usar en la práctica:

Sean X e Y espacios de Banach, y f:X → Y un operador lineal. Supongamos que para toda sucesión (xn) convergente en X existe lim f(xn) y es igual a f(lim xn). En estas condiciones, f es continua.