Teorema de la bisectriz

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En este diagrama, siendo A el ángulo bisecado, BA:AC = BD:DC

El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.

En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

O lo que es equivalente:

Dado el triángulo ABC, sea AD la bisectriz del ángulo interno A, entonces se cumple la proporción: \frac {BA}{AC} = \frac {BD}{DC}

Demostración 1[editar]

Figura bz1 Demostración del teorema de la bisectriz aplicando la «Ley de senos».

Nomenclatura (correspondiente a la Figura bz1):

|AC| \equiv b \; ,
|BC| \equiv a \; ,
|AD| \equiv m \; ,
|BD| \equiv n \; ,
\angle ACD \equiv \angle DCB \equiv x \; ,
\angle ADC \equiv y \; .

Aplicando el teorema del seno al triángulo \scriptstyle \Delta ADC tenemos:

(bz01){m \over \sin x} = {b \over \sin y}

Los ángulos “y” y “π-y” son suplementarios, lo cual implica que \scriptstyle \sin (\pi -y) = \sin (y), entonces aplicando ahora el teorema del seno al triángulo \scriptstyle \Delta DBC tenemos:

(bz02){n \over \sin x} =  {a \over \sin y}

Dividiendo m.a.m. la ecuación (bz01) por la ecuación (bz02) y simplificando obtenemos: {m \over n} = {b \over a}, ∎.[1]

Demostración 2[editar]

Dibujando desde C una línea paralela a la recta AD hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el punto E. El triángulo ACE es isósceles porque sus ángulos C y E son congruentes:

 A\widehat CE = C\widehat AD

porque los dos ángulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AD y EC cortadas por la recta transversal AC

 A\widehat EC = B\widehat AD

porque son correspondientes a las rectas paralelas AD y EC a las cuales corta la recta BE, además

 C\widehat AD = B\widehat AD

porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.

Por la propiedad transitiva de la igualdad se tiene que

 A\widehat EC = A\widehat CE

Por tanto los segmentos AC y AE son congruentes. Por el Teorema de Thales se mantiene la proporción:

\frac {BA}{AE} = \frac {BD}{DC}

y ya que AC y AE son congruentes, también se cumple que

\frac {BA}{AC} = \frac {BD}{DC}

Demostración 3[editar]

El triángulo \triangle ABD y el triángulo \triangle ACD comparten altura h, y si (ABD) y (ACD) representan sus respectivas áreas, se cumple que:

 \frac {(ABD)}{(ACD)} = \frac {BD \cdot h}{CD \cdot h} = \frac {BD}{CD}

Sean F y G los pies de altura de los triángulos ABD y ACD en AB y AC respectivamente. EL ángulo BAD es congruente con el ángulo CAD, por ser AD bisectriz.

Los ángulos AFD y AGD son iguales a π/2 rad (90°) y congruentes entre sí, por ser los pies de las alturas.

Por lo tanto, los ángulos ADF y ADG son congruentes. Entonces el triángulo \triangle ADF y el triángulo \triangle ADG son congruentes, por el criterio ángulo–lago–ángulo (ALA), pues además comparten el lado AD.

Con lo que se obtiene que:

 DF = DG

Pero DF y DG son las alturas de los triángulos \triangle ABD y \triangle ACD respectivamente. Por lo tanto la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases:

 \frac {(ABD)}{(ACD)} = \frac {AB \cdot h}{AC \cdot h} = \frac {AB}{AC}

Por transitividad con lo establecido anteriormente, se tiene que:

 \frac {AB}{AC} = \frac {BD}{CD}

Demostración 4[editar]

Sean los ángulos:

 B\widehat AD = C\widehat AD = \alpha
 A\widehat DB = \theta

Entonces:

 A\widehat DC = 180- \theta

Considerando el triángulo ABD, por el Teorema del seno se obtiene que:  \frac {BD}{sen(\alpha)} = \frac {AB}{sen(\theta)}

Considerando el triángulo ACD se obtiene que:  \frac {CD}{sen(\alpha)} = \frac {AC}{sen(180- \theta)}

Pero se conoce la siguiente identidad:  \sin(x) = \sin(180-x)

Entonces la ecuación queda:  \frac {CD}{\sin(\alpha)} = \frac {AC}{\sin(\theta)}

Dividiendo las dos igualdades se obtiene:  \frac {BD \cdot \sin(\alpha)}{CD \cdot \sin(\alpha)} = \frac {AB \cdot \sin(\theta)}{AC \cdot \sin(\theta)}

Simplificando:  \frac {AB}{AC} = \frac {BD}{CD}

Notas y referencias[editar]

  1. Unicode indica que el cuadrado relleno (∎), como símbolo matemático, significa ‘fin de la prueba’ (en inglés ‘end of proof’) o también QED (Quod erat demonstrandum).

Enlaces externos[editar]