Teorema de la bisectriz
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El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental que es una consecuencia o corolario del Teorema de Tales.
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O lo que es equivalente:
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[editar] Demostración
Dibujese desde C una línea paralela a la recta AL hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A y encontrándose en el punto D. El triángulo ACD es isósceles porque sus ángulos C y D son congruentes:
porque los dos ángulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AL y DC cortadas por la recta transversal AC
porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las cuales corta la recta BD,
además
porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales.
Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que
Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el Teorema de Tales se mantiene la proporción:
y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que
[editar] Demostración 2
Los triángulos ABL y ACL comparten altura, por tanto se cumple que:
Sean D y E los pies de altura de los triángulos ABL y ACL en AB y AC respectivamente.
EL ángulo BAL es congruente con el ángulo CAL, por ser AL bisectriz.
Los ángulos ADL y AEL son iguales a 90° y congruentes entre si, pues así los trazamos.
Por tanto, los ángulos ALD y ALE son congruentes.
Entonces los triángulos ADL y AEL son congruentes, por el criterio ALA, pues además comparten el lado AL.
De aquí obtenemos que:
Pero DL y EL son alturas de los triángulos ABL y ACL respectivamente. Entonces obtenemos que la razón entre sus áreas es igual a la razón entre sus bases, o lo que es lo mismo:
Por transitividad con lo que habíamos dicho, tenemos que:
[editar] Demostración 3
Sea 
y sea 
.
Entonces 
.
Considerando el triángulo ABL, por la ley de senos obtenemos que 
y considerando el triángulo ACL obtenemos que 
Pero tenemos la siguiente identidad:
Entonces nos queda que 
Dividimos las dos igualdades y obtenemos que:
Simplificando:
