Teorema de inversión de Lagrange

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En el ámbito del análisis matemático, el teorema de inversión de Lagrange, también denominado fórmula de Lagrange-Bürmann , permite obtener la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica.

Enunciado del teorema[editar]

Si la dependencia entre las variables w y z se encuentra definida de forma implícita mediante una ecuación del tipo

f(w) = z\,

donde f es analítica en un punto a y f '(a) ≠ 0. Entonces es posible invertir o resolver la ecuación para w:

w = g(z)\,

donde g es analítica en el punto b = f(a). Esto es también denominado reversión de series.

La expansión en serie de g es


  g(z) = a
  + \sum_{n=1}^{\infty}
\left(
\lim_{w \to a}\left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}w^{\,n-1}}
\left( \frac{w-a}{f(w) - b} \right)^n\right)
{\frac{(z - b)^n}{n!}}
\right).

Esta fórmula también vale para series de potencia formales y puede ser generalizada de varias maneras. Puede ser formulada para funciones de varias variables, puede ser extendida para cubrir el caso F(g(z)) para una función analítica F, y puede ser generalizada para el caso f '(a) = 0, donde la inversa g es una función multivaluada.

El teorema fue demostrado por Lagrange[1] y generalizado por Hans Heinrich Bürmann,[2] [3] [4] ambos a finales del siglo XVIII. Existe una deducción directa utilizando análisis complejo e integración de contorno; la version de series complejas de potencia formales es claramente una consecuencia de conocer la fórmula de polinomios, de forma que se pueda aplicar la teoría de funciones analíticas. En realidad, la maquinaria de la teoría de funciones analíticas solo entra en un punto formal en esta demostración, lo que hace falta es alguna propiedad del residuo formal, y existe una demostración formal directa.

Véase también[editar]

  • La fórmula de Faà di Bruno da los coeficientes de la composición de dos series de potencia formales en función de los coeficientes de las dos series. De hecho es una fórmula de la derivada nesima de una función compuesta.
  • Teorema de reversión de Lagrange por otro teorema a veces denominado el teorema de inversión.

Referencias[editar]

  1. Lagrange, Joseph-Louis (1770). «Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries». Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin 24:  pp. 251–326. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41070.  (Note: Although Lagrange submitted this article in 1768, it was not published until 1770.)
  2. Bürmann, Hans Heinrich, “Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum,” submitted in 1796 to the Institut National de France. For a summary of this article, see: Hindenburg, Carl Friedrich, ed. (1798). «Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann» [Attempt at a simplified analysis; an extract of an abridgement by Mr. Bürmann]. Archiv der reinen und angewandten Mathematik [Archive of pure and applied mathematics] 2. Leipzig, Germany: Schäferischen Buchhandlung. pp. 495–499. 
  3. Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration," submitted to the Institut National de France. Bürmann's manuscript survives in the archives of the École Nationale des Ponts et Chaussées [National School of Bridges and Roads] in Paris. (See ms. 1715.)
  4. A report on Bürmann's theorem by Joseph-Louis Lagrange and Adrien-Marie Legendre appears in: "Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann," Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques, vol. 2, pages 13-17 (1799).

Enlaces externos[editar]