Teorema de Liouville (análisis complejo)

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El Teorema de Liouville es uno de esos teoremas que nos habla de cuán distintas pueden llegar a ser las funciones diferenciables en una variable compleja de sus homólogas en una variable real.

Tabla de contenidos

[editar] Enunciado del Teorema

Sea f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}

una función entera[1] y acotada, es decir existe M > 0 tal que

|f(z)| < M\quad \forall z \in \mathbb{C},

entonces resulta que f es constante.

[editar] Demostración

La fórmula integral de Cauchy dice que

f'(z) = \frac{1}{2\pi\,i}\oint_{|z-\zeta| = r}\frac{f(\zeta)}{(z-\zeta)^2}d\zeta.

De modo que

|f'(z)| \le \frac{1}{2\pi}\frac{M}{r^2}\,2\pi\,r = \frac{M}{r}.

Como podemos elegir r tan grande como querramos, concluimos que f'(z) = 0 para todo z en \mathbb{C}. Finalmente, como f está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.

[editar] Teorema de Liouville y Teorema fundamental del Álgebra

El teorema de Liouville entrega una demostración simple del Teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en \mathbb{C} tiene una raíz en \mathbb{C}. La demostración es la siguiente: Sea P(z) un polinomio no constante, y supongamos que no tiene raíces. Luego, como todos los polinomios son funciones enteras, se tiene que Q(z)=\frac{1}{P(z)} resulta ser también una función entera. Pero lim_{z\rightarrow \infty} |P(z)|=\infty (eso siempre ocurre para polinomios no constantes), luego lim_{z\rightarrow \infty} |Q(z)|=0 , por lo que Q resulta ser una función acotada. Luego, por el teorema de Liouville, Q es una función constante, por lo que P también lo será. Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces P debe tener una raíz. Notar que se sigue fácilmente que entonces P tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez P por (z − z0), donde z0 es la raíz recién encontrada.

[editar] Consecuencias

[editar] Espectro de un operador

Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no-vacío. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:

\rho:\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C} \qquad \lambda \mapsto \rho_\lambda = \|(\lambda I - B)^{-1}\|

Donde B\; es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada. Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville. Y dado que:

\lim_{\lambda \to \infty} \rho_\lambda = 0

Por ser constante, tendría que ser 0 en todos sitios y eso contradeciría el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.

[editar] Notas

  1. ↑ f es derivable en el conjunto de los números complejos
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Liouville_(an%C3%A1lisis_complejo)"
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