Teorema de Hurwitz (análisis complejo)

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En análisis complejo, un campo de las matemáticas, el teorema de Hurwitz, llamado así por Adolf Hurwitz, expone aproximadamente que, bajo ciertas condiciones, si una sucesión de funciones holomorfas convergen uniformemente a una función holomorfa sobre conjuntos compactos, entonces después de un tiempo esas funciones y la función límite tienen el mismo número de ceros en cualquier disco abierto.

Más precisamente, sea G un conjunto abierto en el plano complejo, y considérese una sucesión de funciones holomorfas (f_n) que converge uniformemente sobre subconjuntos compactos de G a una función holomorfa f. Sea D(z_0,r) un disco abierto de centro z_0 y radio r que es contenido en G junto con su frontera. asúmase que f(z) no tiene ceros sobre la frontera del disco. Entonces, existe un número natural N tal que para todo n mayor que N las funciones f_n y f tienen el mismo número de ceros en D(z_0,r).

La condición de que f no tenga ceros sobre la frontera del disco es necesaria. Por ejemplo, considérese el disco unitario, y la sucesión

f_n(z) = z-1+\frac{1}{n}

para todo z. Ésta converge uniformemente a f(z)=z-1 la cual no tiene ceros dentro del disco, pero cada f_n(z) tiene exactamente un cero en el disco, que es 1-1/n.

Este resultado se cumple más generalmente para conjuntos convexos acotados pero es más usual expresado para discos.

Una consecuencia inmediata de este teorema es el siguiente corolario. Si G es un conjunto abierto y una sucesión de funciones holomorfas (f_n) converge uniformemente sobre subconjuntos compactos de G a una función holomorfa f, y más aún, si f_n no es cero en ningún punto en G, entonces f es o bien idénticamente cero o nunca es cero.

Véase también[editar]

Referencias[editar]