Teorema de Gelfond-Schneider

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En matemática, el teorema de Gelfond-Schneider es un resultado que establece la trascendencia de una gran clase de números. Fue probado originalmente por Alexander Gelfond en 1934 y de nuevo de forma independiente por Theodor Schneider, en 1935. El teorema Gelfond–Schneider es una respuesta parcial al séptimo problema de Hilbert.

Enunciado[editar]

Si \alpha y \beta son números algebraicos en el cuerpo de los números complejos (siendo \alpha\neq 0,1), y si \beta no es un número racional, entonces cualquier valor de αβ es un número trascendente.

Comentarios[editar]

  • En general, \alpha^{\beta} = \exp\{\beta \log \alpha\} es multivaluada, donde "log" es el logaritmo complejo. Ésta es la razón de la expresión "cualquier valor de" en el enunciado.
  • La siguiente es una formulación equivalente del teorema: si \alpha y \gamma son números algebraicos diferentes de cero, y \alpha \neq 1, entonces (\log \gamma)/(\log \alpha) es (real) racional o trascendente.
  • Si se elimina la restricción de que \beta sea algebraica, el enunciado no será cierto en el caso general (escójanse \alpha=3 y \beta=\log 2/\log 3, que es trascendente, y \alpha^{\beta}=2, que es algebraico). No se conoce una caracterización de los valores de α y β que produzca un αβ trascendente.

Uso del teorema[editar]

Se deriva inmediatamente del teorema la trascendencia de los siguientes números:

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Irrational Numbers, de Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956