Teorema de Gauss-Bonnet generalizado

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En matemáticas, el teorema de Gauss-Bonnet generalizado presenta la característica de Euler de una variedad de Riemann cerrada como integral de cierto polinomio derivado de su curvatura. Es una generalización directa del teorema de Gauss-Bonnet a la dimensión par en general.

Definición[editar]

Sea M una variedad de Riemann compacta de la dimensión 2n y sea Ω la forma de curvatura de la conexión de Levi-Civita. Esto significa que Ω es \mathfrak s\mathfrak o(2n)-valorada en M. Tal Ω puede ser mirado como matriz anti-simétrica 2n×2n cuyas entradas sean 2-formas, así que es una matriz sobre el anillo conmutativo \bigwedge^{\hbox{par}}T^*M. Uno puede por lo tanto tomar el Pfaffiano de Ω Pf(Ω) que resulta ser una 2n-forma.

El teorema de Gauss-Bonnet generalizado establece que

\int_M \mbox{Pf}(\Omega)\ = 2^n\pi^n\chi(M)

donde χ denota la característica de Euler de M.

Otras generalizaciones[editar]

Como con el teorema de Gauss-Bonnet, hay generalizaciones cuando M es una variedad con borde.

Véase también[editar]

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