Teorema de De Moivre-Laplace

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En probabilidad el teorema de Moivre-Laplace es una aproximación normal a la distribución binomial. Se trata de un caso particular del Teorema central del límite. Establece que la distribución binomial del número de éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito p en cada intento es, aproximadamente, una distribución normal de media np y desviación típica \sqrt{npq}, (cabe aclarar que q = 1-p), si n es suficientemente grande y se satisfacen determinadas condiciones.

El teorema apareció por primera vez en la segunda edición de The Doctrine of Chances, de Abraham de Moivre, publicado en 1738. Los "ensayos de Bernoulli" no se llamaron así en ese libro, pero De Moivre escribió lo suficiente sobre la distribución de probabilidad del número de veces que aparecía "cara" cuando se lanzaba una moneda 1800 veces.[cita requerida]

El teorema[editar]

Si n \rightarrow \infty, entonces para k en el entorno \sqrt{npq} -de np, se puede aproximar[1] [2]

\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k} \simeq \frac{1}{\sqrt{2 \pi npq}}e^{-(k-np)^2 / 2npq}, \ \ p+q=1, \ p>0, \ q>0.

En forma de límite el teorema establece que:[1] [2]

\frac{\sqrt{2 \pi npq} \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) p^k q^{n-k}}{e^{-(k-np)^2 / 2npq}} \rightarrow 1 cuando n \rightarrow \infty.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b Papoulis, Pillai, "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes", 4th Edition
  2. a b Feller, W. (1968) An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Volume 1). Wiley. ISBN 0-471-25708-7. Section VII.3