Teorema de Cauchy-Hadamard

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En matemática, el Teorema de Cauchy-Hadamard, llamado así por los matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy y Jacques Hadamard, estableciendo el radio de convergencia de una serie de potencias que aproxima una función en torno de un punto a.

Historia[editar]

Fue publicado por primera vez en 1821 por Augustin Louis Cauchy,[1] pero pasó relativamente desapercibido hasta que que Jacques Hadamard lo redescubrió.[2] La primera publicación de Hadamard sobre este resultado fue realizada en 1888;[3] También fue incluida como parte de su tesis doctoral de 1892.[4]

Enunciado[editar]

Considérese la serie de potencias formal de una variable compleja z de la forma

f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}

donde a,c_n\in\mathbb{C}.

Entonces el radio de convergencia de ƒ en el punto a estará dado por

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \big( | c_{n} |^{1/n} \big)

donde lim sup denota el límite superior, el límite cuando n tiende a infinito del supremo de una sucesión de valores después de la n-ésima posición. Si la secuencia de valores no está acotada, de manera que lim sup sea ∞, entonces la serie de potencias no convergerá cerca de a, mientras que si el lim sup es 0 entonces el radio de convergencia será ∞, lo cual significa que la serie de potencias converge en todo el plano complejo.

Demostración[editar]

[5] Sin pérdida de generalidad asumiremos que a=0. En primer lugar vamos a demostrar que la serie de potencias \sum c_n z^n converge para |z|<R, y después que ésta diverge para |z|>R.

En primer lugar suponemos que |z|<R. Sea t=1/R distinto de cero o infinito. Para todo \epsilon > 0, existe sólo un número finito de n tales que \sqrt[n]{|c_n|}\geq t+\epsilon. Ahora, |c_n|\leq(t+\epsilon)^n, así que la serie \sum c_n z^n converge si |z| < 1/(t+\epsilon). Esto demuestra la primera parte.

Sea ahora |z|>R. Tomando |c_n|\geq (t-\epsilon)^n, vemos que la serie no puede converger dado que su n-ésimo término no tiende a 0.

Referencias[editar]

  1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique .
  2. Bottazzini, Umberto (1986) (en inglés), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, pp. 116–117, ISBN 9780387963020 . Traducido del italiano por Warren Van Egmond.
  3. Hadamard, J., «Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable», C. R. Acad. Sci. Paris 106: 259–262 .
  4. Hadamard, J. (1892), «Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor», Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4e Série VIII, http://www.archive.org/details/essaisurltuded00hadauoft . Also in Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.
  5. Lang, Serge (2002), Complex Analyses: Fourth Edition, Springer, pp. 55–56, ISBN 0387985921 Graduate Texts in Mathematics

Enlaces externos[editar]