Teorema de Brahmagupta

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En geometría euclidiana, el teorema de Brahmagupta (llamado así en honor al matemático indio Brahmagupta) da una condición necesaria sobre la perpendicularidad de las diagonales de un cuadrilátero cíclico (inscriptible en un círculo).

Enunciado

Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico son perpendiculares, entonces toda recta perpendicular a un lado cualquiera del cuadrilátero y que pase por la intersección de las diagonales, divide al lado opuesto en dos partes iguales.

(BD)\perp (AC) y (EF)\perp (BC)
implica AF=FD\

Construcción y demostración[editar]

Dado un cuadrilátero inscriptible ABCD cuyas diagonales son perpendiculares, se quiere demostrar que AF = FD. Para ello, se demostrará que AF y FD son ambos iguales a FM.

Los ángulos FAM y CBM son iguales (debido al teorema de los ángulos inscritos que intersecan al mismo arco de círculo). Además, los ángulos CBM y CME son ángulos complementarios al ángulo BCM. Finalmente, AFM es un triángulo isósceles, y por consecuencia, sus lados AF y FM son iguales.

De manera análoga se demuestra que FD = FM. Los ángulos FDM, BCM, BME y DMF son todos iguales, luego DFM es un triángulo isósceles, de donde FD = FM. Se sigue que AF = FD, lo que demuestra el teorema.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

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