Suma de Ramanujan

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En matemáticas la, suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como cq(n), se define

c_q(n)=\sum_{a=1\atop (a,q)=1}^qe\left(\frac{an}{q}\right),

donde n y q son enteros positivos, (a,q) son el máximo común divisor de a y q, y e(x) es la función exponencial exp(2πix).

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, p.e.

cq(n)cr(n)=cqr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que cq(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

c_q(n)=\mu(q/d)\frac{\phi(q)}{\phi(q/d)}.

Series relacionadas con la suma de Ramanujan[editar]

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

\sum_{q=1}^\infty a_qc_q(n)

para diversas secuencias (aq).[1] En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q^s}=\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)},

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q}=0

y

\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q^2}=\frac{6}{\pi^2}\frac{\sigma_1(n)}{n}

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

\sum_{q=1}^\infty\frac{c_q(n)}{q}\log(q)=-\sigma_0(n)

y

\sum_{q=1}^\infty(-1)^{q-1}\frac{c_{2q-1}(n)}{2q-1}=r_2(n),

donde r2(n) son el número de representaciones de n como x2 + y2 en enteros x e y.

Referencias[editar]

  1. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, G. H. Hardy, Cambridge University Press, 1940