Serie de Bell

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En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.

Dada una función aritmética f y un número primo p, se define la serie de potencias formal f_p(x), llamada serie de Bell de f módulo p como:

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas f y g, se tiene que f=g si y sólo si:

f_p(x)=g_p(x) para todos los primos p.

Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera f y g, sea h=f*g su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo p, se tiene que:

h_p(x)=f_p(x) g_p(x).\,

En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.

Si f es completamente multiplicativa, entonces:

f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x}.

Ejemplos[editar]

A continuación se muestran las series de Bell de funciones aritmética muy conocidas.

Referencias[editar]