Semicontinuidad

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En análisis matemático la semi-continuidad es una propiedad de la funciones reales más débil que el concepto de continuidad. Coloquialmente, una función real se dice semi-continua superiormente en un punto x0 si los valores de la función en puntos cercanos a x0 son próximos a f(x0) o menores que f(x0). Similarmente si los valores de la función en dicho entorno son "mayores que" en vez de "menores que", decimos que la función es semi-continua inferiormente en x0.

Ejemplos[editar]

Función semi-continua superiormente. El punto azul se refiere a f(x0).

Consideremos la siguiente función definida por tramos, f(x) = –1 si x < 0 y f(x) = 1 si x ≥ 0. Ésta función es semi-continua superiormente pero no inferiormente.

Función semi-continua inferiormente. El punto azul se refiere a f(x0).

La función de parte entera, f(x)=\lfloor x \rfloor, que asigna a cada número real el entero menor o igual a dicho número es semi-continua superiormente en todo su dominio, similarmente f(x)=\lceil x \rceil, que asigna a cada número real el entero mayor o igual a dicho número, es semi-continua inferiormente en todo su dominio.

Una función puede ser semi-continua inferiormente o superiormente sin necesariamente ser continuas por la derecha o por la izquierda como podemos ver con el siguiente ejemplo:

f(x) = \begin{cases}                x^2 & \mbox{si } 0 \le x < 1,\\                2   & \mbox{si } x = 1, \\                1/2 + (1-x) & \mbox{si } x > 1,                \end{cases}

una función que es semi-continua superiormente en x = 1 pero que no es continua por la derecha o por la izquierda. El límite por la derecha es 1 mientras que el límite por la izquierda es 1/2. Similarmente:

 f(x) = \begin{cases}                 \sin(1/x) & \mbox{si } x \neq 0,\\                 1         & \mbox{si } x = 0,                 \end{cases}

es semi-continua superormente en x = 0 pero sus límites por la derecha o por la izquierda no existen para dicho punto.

Definición formal[editar]

Referencias[editar]

Véase también[editar]

Función discontinua