Señal analítica

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La señal analítica de Gabor correspondiente a una señal temporal real, es una señal compleja cuyo espectro de frecuencias es nulo para frecuencias negativas, y cuya parte real es igual a la señal original.

Definición[editar]

La señal analítica x_a(t) se construye a partir de una señal real.[1]

Sea x(t) una señal real cuya transformada de Fourier es X(\omega). Construyamos ahora la siguiente función:


    X_a(\omega) = \left \{
        \begin{array}{rl}
            2X(\omega) & \textrm{si} \; \omega > 0\\
            X(\omega) & \textrm{si} \; \omega = 0\\
            0 & \textrm{si} \; \omega <0
        \end{array}
    \right.

La señal analítica correspondiente a x(t) es la transformada de Fourier inversa de X_a(\omega):


       x_a(t) = \mathcal{F}^{-1}\{X_a(\omega)\}

Construcción alternativa[editar]

La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de x(t).

Sea x_h(t) = \mathcal{H}\{x(t)\} la transformada de Hilbert de x(t). Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:


    x_a(t) = x(t) + i x_h(t) \,\!

donde «i» es la unidad imaginaria.

Propiedades[editar]

La primera propiedad evidente de la señal analítica x_a(t) es que su parte real es igual a la señal correspondiente:

\operatorname{Re}\{x_a(t)\} = x(t)

Aplicación[editar]

La señal analítica de Gabor permite separar una señal temporal en sus componentes de amplitud y fase instantáneas. Es decir, para cada tiempo t, podremos calcular una función A(t) y una función \phi(t) tales que


x(t) = A(t) \cos(\phi(t))

Para esto basta calcular

 A(t) = \sqrt{\operatorname{Re}\{x_a(t)\}^2 + \operatorname{Im}\{x_a(t)\}^2}

y

 \phi(t) = \arg(x_a(t))

donde arg es el argumento de un número complejo.

Referencias[editar]

  1. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer (2000). Tratamiento de señales en tiempo discreto, 2ª Ed. Madrid : Prentice Hall Iberia. p. 873. ISBN 8420529877.