Símbolo de Kronecker

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En teoría de números, el símbolo de Kronecker, escrito como \left(\frac an\right) o (a|n), es una generalización del símbolo de Jacobi para todos los números enteros n. Fue introducido por Leopold Kronecker.

Definición[editar]

Sea n un número entero distinto de cero, con una factorización en números primos

u \cdot {p_1}^{e_1} \cdots {p_k}^{e_k},

donde u es una unidad (i.e., u es 1 o −1), y los pi son números primos. Sea a un entero. El símbolo de Kronecker (a|n) se define como:

 \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{u}\right) \prod_{i=1}^k \left(\frac{a}{p_i}\right)^{e_i}.

Para números impares pi, el (a|pi) se reduce simplemente al símbolo de Legendre. Queda el caso en el que pi = 2. Se define (a|2) por

 \left(\frac{a}{2}\right) = 
\begin{cases}
 0 & \mbox{si }a\mbox{ es par,} \\
 1 & \mbox{si } a \equiv \pm1 \pmod{8},  \\
-1 & \mbox{si } a \equiv \pm3 \pmod{8}.
\end{cases}

Puesto que extiende el símbolo de Jacobi, la cantidad (a|u) es simplemente 1 cuando u = 1. Cuando u = −1, se define éste por

 \left(\frac{a}{-1}\right) = \begin{cases} -1 & \mbox{si }a < 0, \\ 1 & \mbox{si } a \ge 0. \end{cases}

Finalmente, tenemos que

\left(\frac a0\right)=\begin{cases}1&\text{si }a=\pm1,\\0&\text{de otra manera.}\end{cases}

Estas extensiones son suficientes para definir el símbolo de Kronecker para todos los valores enteros n.

Véase también[editar]

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