Símbolo de Jacobi

El símbolo de Jacobi, denotado como $\left ( \frac{m}{n} \right)$, es una función función aritmética que toma dos argumentos y devuelve un valor entero comprendido en el intervalo $[-1, 1]$. En esencia se puede considerar como una generalización del símbolo de Legendre para valores impares de $n$ que no necesariamente han de ser primos. Debe su nombre al matemático Carl Gustav Jakob Jacobi.

Definición

Sea m un número entero y n un número natural impar, se denomina símbolo de Jacobi a la expresión:

$\left ( \frac{m}{n} \right) = \prod_{i=1}^{k}\left ( \frac{m}{p_i} \right)^{a_i}$

donde para todo i, p_i es primo y a_i es un número natural, siendo $n = \prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}$ y denotando mediante $\left ( \frac{m}{p_i} \right)$ el símbolo de Legendre.

Obviamente, cuando n es un número primo, el correspondiente símbolo de Jacobi se reduce al de Legendre.

Propiedades

El símbolo de Jacobi satisface las mismas reglas que aquél al que generaliza, además de algunas adicionales:

i) Si $n|m$ entonces $\left ( \frac{m}{n} \right)=0$.

ii) Un caso especial de esto último es que $\left ( \frac{m}{m} \right)=0$.

iii) Si $m$ y $n$ son números impares primos relativos entre sí, y $n \geq 3$ se cumple la siguiente relación:

$\left ( \frac{m}{n} \right)\left ( \frac{n}{m} \right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}$

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Jacobi Symbol» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.