Resultante

En matemáticas, la resultante de dos polinomios mónicos $P$ y $Q$ sobre un cuerpo $k$ se define como el producto:

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} \prod_{Q(y)=0} (y-x),\,$

de las diferencias de sus raíces, donde $x$ y $y$ toma valores en la clausura algebraica de $k$ . Para polinomios no mónicos con coeficientes dominantes $p$ y $q$ , respectivamente, el producto de más arriba se multiplica por

$p^{\deg Q} q^{\deg P}.\,$

[editar] Computación

La resultante es el determinante de la matriz de Sylvester.

El productorio anterior puede ser reescrito como

$\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{Q(y)=0} P(y)\,$

y esta expresión permanece invariante si $P$ se reduce módulo $Q$ .

Sea $P' = P \mod Q$ . La idea anterior puede ser aplicada intercambiando los papeles de $P'$ y $Q$ . Sin embargo, $P'$ tiene un conjunto de raíces diferentes de las de $P$ . Esto puede ser resuelto escribiendo $\prod_{Q(y)=0} P'(y)\,$ como un determinante otra vez, donde $P'$ tiene como coeficientes no dominantes el cero. Este determinante puede ser simplificado mediante una expansión iterativa con respecto la columna, donde solo el coeficiente dominante $q$ de $Q$ aparece.

$\mathrm{res}(P,Q) = q^{\deg P - \deg P'} \cdot \mathrm{res}(P',Q)$

Continuando este procedimiento obtenemos una variante del algoritmo de Euclides. Este procedimiento necesita tiempo de ejecución cuadrático.

[editar] Propiedades

$\mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)$
$\mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)$
Si $P' = P + R*Q$ y $\deg P' = \deg P$ , entonces $\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P',Q)$
Si $X, Y, P, Q$ tienen el mismo grado y $X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q$ ,

entonces $\mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)$

$\mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P)$ donde $P_-(z) = P(-z)$

[editar] Aplicaciones

Las resultantes pueden ser usadas en la geometría algebraica para determinar intersecciones. Por ejemplo, sean $f(x,y)=0$ y $g(x,y)=0$ definiendo unas curva algebraica en $\mathbb{A}^2_k$ . Si $f$ y $g$ son vistos como polinomios en $x$ con coeficientes en $k(y)$ , entonces la resultante de $f$ y $g$ es un polinomio en $y$ cuyas raíces son las coordenadas $y$ de la intersección de las curvas.