Relación de Parseval

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En matemáticas, la Relación de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada. Esta relación procede de un teorema de 1799 sobre series, cuyo creador fue Marc Antoine Parseval. Esta relación se aplicó más tarde a las Series de Fourier.

Aunque la Relación de Parseval se suele usar para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier, sobre todo en física e ingeniería, la forma generalizada de este teorema es la Relación de Plancherel.

Fórmula[editar]

En física e ingeniería, la Relación de Parseval se suele escribir como:

\int_{-\infty}^{\infty} | f(t) |^2 dt   = \int_{-\infty}^{\infty} | \mathcal{F} [ f(t) ] (\alpha ) |^2 d\alpha

donde \mathcal{F} [ f(t) ] (\alpha ) representa la transformada continua de Fourier de f(t) y \alpha representa la frecuencia (en hercios) de f.

La interpretación de esta fórmula es que la energía total de la señal f(t) es igual a la energía total de su transformada de Fourier \mathcal{F} [ f(t)] a lo largo de todas sus componentes frecuenciales.

Para señales de tiempo discreto, la relación es la siguiente:

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] |^2  =  \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} | X(e^{i\phi}) |^2 d\phi

donde X es la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de x y \phi representa la frecuencia angular (en radianes) de x.

Por otro lado, para la transformada discreta de Fourier (DFT), la relación es:

 \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2  =   \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2

donde X[k] es la DFT de x[n], ambas de longitud N.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

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