Regresión lineal aplicada en fabricación

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La regresión lineal aplicada en fabricación es una técnica estadística para modelar e investigar la relación entre dos o más variables. Este método es aplicable en muchas situaciones en las que se estudia la relación entre dos o más variables o predecir un comportamiento, algunas incluso sin relación con la tecnología. En caso de que no se pueda aplicar un modelo de regresión a un estudio, se dice que no hay correlación entre las variables estudiadas.

Marco teórico[editar]

El modelo de regresión lineal será aplicado en aquellos casos en los que la variable independiente Y sea continua. Existen varios tipos de regresión, por ejemplo:

Regresión lineal simple[editar]

El modelo de regresión lineal simple considera una única variable independiente o explicativa, x, y una variable dependiente o respuesta, Y, asumiendo que la relación entre ambas es lineal.

La ecuación que modelizará el comportamiento existente entre ambas variables es la siguiente, siendo β1 y β0 estimadores:

y_i=\hat\beta_0+\hat\beta_1x_i+e_i\,,\qquad i=1\ldots n

β1: Se trata del cociente entre la interacción obtenida entre ambas variables y la suma de cuadrados de los valores de la variable dependiente. Este valor corresponde a la pendiente de la recta.

\hat\beta_1=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^ny_ix_i-\frac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\right)}{n} }{\displaystyle\sum_{i=1}^nx^2_i-\frac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\right)^2}{n} }

β0: Es el resultado de la siguiente ecuación en la que aparecen los valores medios correspondientes a ambas variables y el estimador β1 obtenido anteriormente. Este valor es la ordenada en el origen.

\hat\beta_0=\overline y-\hat\beta_1\overline x

Ei es el residuo e indica la bondad del ajuste realizado para cada punto. Se calcula de la siguiente forma:

e_i=y_i-\hat y_i

Una vez se ha obtenido la recta de regresión, es necesario comprobar la bondad del ajuste realizado mediante el siguiente análisis ANOVA: FOTO5.png


n= número de datos. Se compara F0 con valor F crítico (tabla F de Scnedecor) con valor de significación α, 1, y n-2 grados de libertad concluyendo: Si F0< Ft, el modelo es apropiado, Si F0> Ft, el modelo utilizado no es apropiado.

Para los casos en los que un modelo lineal no sea el más adecuado, se pueden aplicar los llamados modelos intrínsecamente lineales que transforman la recta en otro tipo de función. Un ejemplo sería la función exponencial:

Y=\beta_0 e^{\beta_1x}\varepsilon

Regresión múltiple (varias variables)[editar]

Un modelo de regresión que contiene más de una variable se denomina Modelo de Regresión Múltiple. La variable dependiente o respuesta Y puede ser relacionada con k variables independientes. La ecuación que modeliza el comportamiento es la siguiente:

Y=\hat\beta_0+\hat\beta_1x_1+\hat\beta_2x_2+\ldots+\hat\beta_\kappa x_\kappa+\varepsilon

Este modelo se podrá representar de forma matricial de la siguiente manera:

 y=X\beta+\varepsilon

\mathbf{y}=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}
\qquad
\mathbf{X}=\begin{bmatrix}1 & \cdots & x_{11} & \cdots & x_{12} & \cdots & x_{1k} \\1 & \cdots & x_{21} & \cdots & x_{22} & \cdots & x_{2k} \\\vdots \\1 & \cdots & x_{n1} & \cdots & x_{n2} & \cdots & x_{nk}\end{bmatrix}

\beta=\begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n\end{bmatrix}
\qquad
\varepsilon=\begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \vdots \\ \varepsilon_n\end{bmatrix}

La obtención de los estimadores se realizará resolviendo el sistema lineal de ecuaciones.

Al igual que en el caso anterior será necesario efectuar una comprobación de la bondad de ajuste mediante un test ANOVA.

FOTO10.png

k= número de variables. n= número de datos. p= número de grupos. Siendo estas las expresiones para el cálculo de las sumas de cuadrados:

\begin{array}{lcl} Syy&=&\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i^2-\frac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\right)^2}{n}=y'y-\frac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\right)^2}{n}=Var(y)*(n-1)\\ SS_E&=&y'y-\hat\beta'X'y=\displaystyle\sum_{i}e_i^2\,,\\ SS_R&=&\hat\beta'X'y-\frac{\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\right)^2}{n}=Syy-SS_E \end{array}

Con el valor F crítico (valor de significación α, k, y n-p grados de libertad) correspondiente y se compara con F0 determinando la bondad del ajuste de la misma forma que en el caso de una variable.

Aplicaciones[editar]

El modelo de regresión lineal es aplicado en un gran número de campos, desde el ámbito científico hasta el ámbito social, pasando por aplicaciones industriales ya que en multitud de situaciones se encuentran comportamientos lineales. Estos son algunos ejemplos aplicados a diversos campos:

Química[editar]

La concentración de un elemento es uno de los parámetros de mayor importancia en los procesos químicos aplicados en la industria. Esta cuantificación se puede obtener mediante un espectrofotómetro, dispositivo que requiere se calibrado. Para ello se elabora una recta de calibración que se obtiene a partir de la correlación entre la absorbancia de un patrón y la concentración de la sustancia a controlar.[1]

Mecánica[editar]

En esta rama se utiliza la Regresión Lineal entre otros para ajustar la recta de Paris , una ecuación que sirve para estudiar elementos sometidos a fatiga en función del número de ciclos a los que se somete un material. La bondad del ajuste se comprueba representando el conjunto de valores discretos a-Nm obtenidos experimentalmente, frente a la curva correspondiente a la recta de Paris definida por los valores “C” y “m”.[2]

Electricidad[editar]

En electricidad se puede obtener el valor de una resistencia en un circuito y su error mediante un ajuste de regresión lineal de pares de datos experimentales de voltaje e intensidad obtenidos mediante un voltímetro y un amperímetro.[3]

Sensores[editar]

Calibración de un sensor de temperatura (termopar) en función de la caída de tensión y la temperatura. Se estudia la forma en que varía la temperatura de un líquido al calentarlo. Se calibra el sensor y simultáneamente se mide la variación de temperaturas en un líquido para representar los datos obtenidos posteriormente mediante Regresión Lineal.[4]

Física[editar]

Determinación del coeficiente de rozamiento estático de forma experimental a partir de la medición del ángulo de inclinación de una rampa. Se realiza un montaje ajustando un circuito para medir el ángulo de inclinación, y se realizan mediciones variando dicho. Mediante la regresión lineal de los datos obtenidos, se obtiene la ecuación y el índice de correlación a fin de saber el error.[5]

Fabricación[editar]

Dos de los parámetros más importantes de una soldadura es la intensidad aplicada al hilo y la velocidad de alimentación del mismo. Mediante técnicas de regresión lineal se elaboran las rectas que relacionan estos parámetros con la separación entre el hilo y la zona a soldar.[6]

Diseño de experimentos[editar]

Con la metodología 2k es posible mejorar un proceso mediante la realización de experimentos, determinando qué variables tienen un efecto significativo. A partir de esas variables se obtiene una recta de regresión que modeliza el efecto. Por ejemplo se podría obtener la relación entre la temperatura y la presión en un proceso industrial.[7]

Construcción[editar]

Mediante técnicas de regresión lineal se caracterizarán diversas cualidades del hormigón. A partir del módulo de elasticidad es posible predecir la resistencia a la compresión de una determinada composición de un hormigón. También se puede determinar la succión capilar a partir del volumen absorbido por una muestra y el tiempo que ha durado la succión.[8]

Desarrollo de algunos ejemplos de aplicación de la regresión lineal[editar]

Aplicación de regresión lineal simple en el proceso de pigmentación de una empresa del sector de la automoción.[editar]

En la práctica, con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos de variables, cuando se sabe que existe alguna relación inherente entre ellas. Por ejemplo, en un caso industrial se puede saber que la pintura, para partes automotrices, está relacionada con la cantidad de pigmentación con la que se lleva a cabo. Puede ser interesante desarrollar un método de predicción, esto, un procedimiento para estimar el contenido de pigmentación que deben de tener las pinturas para cumplir con las especificaciones de las armadoras como se muestra en la siguiente imagen de tal manera que el problema consiste en lograr la mejor estimación de la relación entre las variables.

Pintura carrocería.jpg

Del ejemplo citado anteriormente, los gramos de pigmentación son la variable independiente y la resolución de pintura es la respuesta “Y”

El término regresión lineal implica “Y” esta linealmente relacionado con “X” por la ecuación de la recta:

Y=b+mX ó Y=bx+c

La manera en que se representa el color en las armadoras y ensambladoras, es a través de la Figura 1, la cual muestra la combinación de todos los colores posibles.

Colorimetría.JPG

Figura 1. Diagrama general del color.

Para nuestro análisis en cuestión el color se especifica cómo se muestra en la Tabla 1. Las especificaciones de color para los volantes de un modelo de automóvil, son las siguientes:

Tabla 1
L -27.59 '+/-0.6
A -0.05 '+/-0.2
B 1.29 '+/-0.2

De esta manera se observa que las especificaciones son muy justas y cualquier ajuste equivoco de pigmentación en la pintura ocasionará, material en condiciones NG, proporcionando indicadores negativos a la empresa como pérdida de tiempo, dinero, aumento de scrap así como sus indicadores de PPMS internos y con su cliente. Haciendo una corrida amplia y manipulando el pigmento blanco se toma de lecturas de las condiciones de la pintura. Son conforme a la Tabla 2.

FOTO16.png

Tabla 2. Datos obtenidos de la pintura ajustada con pigmento blanco.


Estimando el valor de la pendiente “β1” (que llamaremos b) y el valor “β0” (que llamaremos a), se tiene que:

La pendiente de la recta estimada es:

                                           b = -0,468

El valor de “β0” estimados es:

                                          a = -25,44567

De tal manera que la formula de la recta estimada para el ejemplo de la pintura es:

                                      \hat Y = -25,445-0,468. X

Y la gráfica para validar la normalidad de los errores (uno de los supuestos en los que se basa este análisis) es:

Normal probability plot 0001 residuals.png

Figura 2. Gráfica de probabilidad.

De esta manera, la función de la recta a través de los mínimos cuadrados funciona e interactúa para generar una ayuda en el ámbito industrial y generar un valor probabilístico en beneficio de obtención de una similitud de operaciones.

Este método ayudara a las empresas a: • Reducción de tiempos en decisiones de procesos • Reducción de inversión de materiales en los procesos. • Generar un valor mínimo de incertidumbre en los procesos • Estandariza procesos.

La función de la recta es aplicable en el ámbito industrial al generar una regresión lineal para la obtención de un valor esperado que ayude a las compañías a tener una idea de un valor de una variable que pueden controlar en beneficio de sus procesos.

Aplicación de regresión lineal múltiple en el análisis químico[editar]

El rendimiento de una reacción química depende de la temperatura de operación y de la concentración inicial del reactivo. Efectué un análisis de regresión a los siguientes datos:

Rendimiento concentración temperatura
81 1 150
89 1 180
83 2 150
91 2 180
79 1 150
87 1 180
84 2 150
90 2 180

SOLUCIÓN

Aplicando las fórmulas citadas anteriormente obtendremos los resultados de todos los datos que serán necesarios para el cálculo de la Tabla ANOVA.

En primer lugar se ajustara el modelo lineal y= β0 + β 1x1+ β 2x2+ε a los datos, se realizará la estimación de los coeficientes, y obtendremos la varianza residual:

S2 =1,04881

Tras esto a partir de los residuos calculados y representados en una tabla se calcula el coeficiente de determinación:

R2 =0,959559

Por último se calculan las varianzas asociadas a cada uno de los estimadores de los parámetros:

Parámetro Sbi
β0 4,24411
β1 0,74162
β2 0,02472

Tras esto ya podemos calcular y representar los resultados en la Tabla ANOVA. La significación global del ajuste se presenta en la Tabla E52.3:

FOTO19.png

Al comparar Fo con el F0.05, 2, 5 puede concluirse que el modelo es significativo y que al menos un bi es distinto de cero. La significancia del efecto de cada Xi se probara a partir de la prueba 1, basada en una prueba “t”, dicho análisis se presenta a continuación:

FOTO20.png

Al comparar el to asociado a cada bi con la t0.025,5 puede observarse que los efectos tanto de la temperatura como de la concentración son significativos a un nivel de confianza del 95%. El modelo ajustado es por tanto:

Y = 39.75 + 3.0 . X concentración + 0.25 . X temperatura

La validación del modelo se haría en base al análisis de los residuos, a través de los siguientes gráficos:

  • gráfico de probabilidad normal de los residuos
  • gráfico de los residuos frente a los valores predichos
  • gráficos de los residuos frente a cada variable

Un análisis de los gráficos de los residuos contra las variables concentración y temperatura permitirá concluir si el factor concentración presenta un efecto muy importante sobre la variabilidad del rendimiento, en función de si una mayor concentración reduce la variabilidad en cuanto al rendimiento de la reacción química.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Marco teórico

José Antonio Heredia Álvaro, apuntes de clase tema 3: Regresión Lineal de la asignatura Ingeniería de Calidad de Ingniería Industrial de la Universitat Jaume I


  • Primer ejemplo

- Antoniadis, A.; Berruyer, J.; Carmona, R. (1992) Regression Non Lin´eaire et Applications.

- Ronald E. Walpole (1992). Probabilidad y Estadística.

- Juan Manuel Silvia, Adriana Lazo, (2008) Fundamentos de matemáticas. web: http://www.cicataqro.ipn.mx/es/tecnologa/V1N2A2.pdf


  • Segundo ejemplo

MONTGOMERY, 1991, cap. 15. web: http://www.matematica.ues.edu.sv/trabajosdegraduacion/analisis/capitulo%205.PDF (Archivo PDF Página 38/56, Resuelto con todos los pasos)