Regla de l'Hôpital

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli[1] es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.[1]

Enunciado[editar]

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo  \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty} .[2] [3] [4]

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si xc.

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,


   \lim_{x \to c}{f(x)\over g(x)} =
   \lim_{x \to c}{f'(x) \over g'(x)}


Demostración[editar]

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.[2] [4] Se asume que tanto f como g son derivables en c, y además las derivadas de f y g son funciones continuas

  • Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b, con x distinto de c, se puede escribir de la siguiente manera:


   {f(x)\over g(x)} =
   {f(x)-f(c) \over g(x)-g(c)} =
   \cfrac{ \cfrac{f(x)-f(c)}{x-c} }{ \cfrac{g(x)-g(c)}{x-c} }

  • Sabemos que f y g son derivables en c y que g'(x) no se anula en x=c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:


   \lim_{x \to c} \cfrac{f(x)}{g(x)} =
   \cfrac
      {\displaystyle \lim_{x \to c} \cfrac{f(x)-f(c)}{x-c} }
      {\displaystyle \lim_{x \to c} \cfrac{g(x)-g(c)}{x-c} }
   = \cfrac{f'(c)}{g'(c)}

Ejemplos[editar]

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).

Aplicación sencilla[editar]


  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} =
   \cfrac{0}{0}

  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}
  \quad \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad
  \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}
  = \frac{1}{1}
  = 1

Aplicación consecutiva[editar]

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse n veces:


   \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin(x)}

   \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad
   \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})-2}{1-\cos(x)}

   \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad
   \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{\sin(x)}

   \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad
   \lim_{x \to 0} \frac{e^x-(-e^{-x})}{\cos(x)} =
   \frac{e^0+e^{-0}}{\cos(0)} =
   \frac{1+1}{1} = 2

Adaptaciones algebraicas[editar]

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo \begin{matrix} \frac{0}{0} \end{matrix} mediante transformaciones algebraicas:

Cocientes incompatibles[editar]

Las indeterminaciones de tipo \begin{matrix} \frac{\infty}{\infty} \end{matrix} se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:


   \lim_{x \to \infty} \cfrac{x^4}{x} =
   \lim_{x \to \infty} \cfrac{\cfrac{1}{x}}{\cfrac{1}{x^4}}

De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo \begin{matrix} \frac{\infty}{\infty} \end{matrix} también se pueden resolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hôpital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.

Indeterminaciones no cocientes[editar]

A veces algunos límites indeterminados que no aparecen dados como cocientes pueden ser hallados con esta regla.

  • Tipo  \infty - \infty

   \lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x} =

   = \lim_{x \to \infty} \cfrac{\left(x + \sqrt{x^2 - x}\right)\left(x - \sqrt{x^2 - x}\right)}{x + \sqrt{x^2 - x}} 
   = \lim_{x \to \infty} \cfrac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}}
   = \lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}}

   = \lim_{x \to \infty} \cfrac{ \overbrace{x}^{\infty} } { \underbrace{x + \sqrt{x^2 - x}}_{\infty} }
   = \cfrac{\infty}{\infty}

   \lim_{x \to \infty} \cfrac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}}
   \quad \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad
   \lim_{x \to \infty} \cfrac{(x)'}{(x + \sqrt{x^2 - x})'} =

   = \lim_{x \to \infty} \cfrac{1}{1 + \cfrac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}}}
   = \cfrac{1}{1 + 1}
   = \cfrac{1}{2}

Generalizaciones[editar]

La regla de L'Hôpital se puede extender a funciones escalares de n variables que sean diferenciables. Dadas dos funciones f y g tales que f(c) = g(c) = 0, se tiene:

\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{c}} \frac{f(\mathbf{x})}{g(\mathbf{x})} =
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{c}}
\frac{\nabla f(\mathbf{x})\cdot(\mathbf{x-c})}{\nabla g(\mathbf{x})\cdot(\mathbf{x-c})}=
\lim_{\mathbf{x}\to \mathbf{c}}
\frac{\|\nabla f(\mathbf{x})\|}{\|\nabla g(\mathbf{x})\|}
\left( \frac{\cos \theta_f}{\cos \theta_g} \right)

\nabla f \nabla g, representan los gradientes de ambas funciones escalares.
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}, representa el producto escalar de dos vectores.
\| \cdot \|, representa la norma de un vector.
\theta_f, es el ángulo formado por el gradiente de f y el vector \mathbf{x-c}.
\theta_g, es el ángulo formado por el gradiente de g y el vector \mathbf{x-c}.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b María Cristina Solaeche Galera (1993). «La Controversia L'Hospital - Bernoulli». Consultado el 9 de agosto de 2009.
  2. a b Brinton, Thomas George (2005). «4.Aplicaciones de la derivada. La regla de l'Hôpital». Cálculo: Una variable (11ª edición). Madrid: Pearson Educación. pp. 292–297. ISBN 9702606438. 
  3. Ruiz Zúñiga, Angel (1997). «8.5 Calcular límites usando la derivada. La regla de l'Hôpital». Elementos de Cálculo Diferencial Volumen I y II (1ª edición). Costa Rica: Editorial Universidad de Costa Rica. pp. 66–69. ISBN 997767440X. 
  4. a b «Regla de L'Hôpital». Consultado el 9 de agosto de 2009.

Enlaces externos[editar]