Radical de un entero

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En teoría de números, el radical de un entero positivo n, es el producto de los números primos que dividen n. Se utiliza en diversas partes de la teoría de números, por ejemplo, en la formulación de la conjetura abc.


Definición[editar]

La definición formal es la siguiente:

Si

 n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k} \quad \quad \alpha_k \in \mathbb{N}_0,\;p \in \mathbb{P}

es un número natural formado por factores primos distintos elevados a un cierto exponente, entonces:

 \operatorname{rad} (n) = \prod_{p \mid n} p

Otra definición equivalente, considerando \mathcal{S} el conjunto de enteros positivos que son libres de cuadrados, es:

 \operatorname{rad} (n) = \sup \{ x \in \mathcal{S} \; : x \leq n \, \land \, x \mid n \}

o sea, el mayor entero libre de cuadrados que divide a n. Por convenio, rad(1) = 1.

Los radicales de los primeros números enteros positivos son 1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10,... (secuencia A007947 en OEIS)

Propiedades[editar]

 \operatorname{rad}(m \cdot n) = \operatorname{rad}(m) \cdot \operatorname{rad}(n)

Ejemplos[editar]

Algunos ejemplos:

504=2^3\cdot3^2\cdot7 \longrightarrow \; \mbox{rad}(504)=2\cdot3\cdot7=42
 143 = 11 \cdot 13 \longrightarrow \; \mbox{rad}(143) = 11 \cdot 13 = 143

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