Punto del infinito

fig.1: La "recta proyectiva real (ℝP¹)" con el punto del infinito $\textstyle \infty$, genera una curva cerrada.

El punto del infinito, punto en el infinito o punto impropio es una entidad topológica y geométrica que se introduce a modo de cierre o frontera infinita del conjunto de los números reales. Cuando se añade a la recta real genera una curva cerrada (véase fig.1) conocida como recta proyectiva real, $\mathbb{R}P^1$, que no es equivalente a la recta real ampliada, que tiene dos puntos distintos en el infinito.

$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}$

Topología T

Para que el punto en el infinito represente efectivamente el infinito real se define en $\overline{\mathbb{R}}$ la topología $\overline{T}$ formada por todos los conjuntos:

• A, que son abiertos de $\mathbb{R}$
• B, que son complementarios de conjuntos compactos (cerrados y acotados) de $\mathbb{R}$ .

Los conjuntos A son los abiertos de $\overline{\mathbb{R}}$ que no contienen el :$\infty$ mientras que los conjuntos B son los que sí lo contienen.

Sea $x_n\in\mathbb{R}$ una sucesión de números reales tales que $\lim_{n \to \infty}x_n = \infty$. Dentro del conjunto de los números reales, esto quiere decir únicamente que:

$\forall K>0\ \exists m\in \mathbb{N} | si\ n>m \Rightarrow x_n \notin [-K,K]$

Pero esta misma condición implica en $\overline{\mathbb{R}}$ que

$\forall B|\infty\in B \ \exists m\in N | si\ n>m \Rightarrow x_n\in B$

Es decir, que en $\overline{\mathbb{R}}$ se escribe también $\lim_{n \to \infty}x_n = \infty$. Sin embargo, sólo en $\overline{\mathbb{R}}$ se puede decir que la sucesión $x_n \,$ converge, puesto que $\infty\notin \mathbb{R}$.

En el plano complejo

	fig.cp1: Proyección estereográfica del plano complejo extendido sobre la "esfera de Riemann".
	fig.cp2: La "esfera de Riemann" puede ser visualizada como el plano complejo envuelto alrededor de una esfera.

El punto del infinito también puede añadirse al plano complejo, $\mathbb{C}^1$, de manera que se transforme en una superficie cerrada (véase fig.cp1 y fig.cp2), la recta proyectiva compleja, $\mathbb{C}P^1$, también llamada esfera de Riemann, una esfera sobre el plano complejo y desde cuyo polo superior se proyectan el resto de puntos de la esfera sobre el plano complejo. De este modo, se establece una biyectividad en la que a cada punto de la esfera le corresponde uno del plano complejo. El homólogo del punto desde el que proyectamos estereográficamente se convierte en el punto del infinito.

Rectas paralelas en ℝ²

Al igual que dos rectas secantes comparten un punto, dos rectas paralelas comparten una dirección, por lo que a esas direcciones también se las conoce como puntos impropios de esas rectas en las que se encuentran. Por ejemplo, en $\mathbb R^2$ no es posible determinar con exactitud la posición del punto del infinito mediante unas coordenadas absolutas $(x,y) \,$. Para conseguirlo, se acude a las coordenadas homogéneas $(x', y', w) \,$, donde $x' \,$ e $y' \,$ representan la dirección del vector director de la recta. Las anteriores coordenadas absolutas $(x, y) \,$ vienen dadas por:

$(x, y) = ({x' \over w}, {y' \over w})$

El punto $(4, 6) \,$ podría representarse, por ejemplo, como $(8, 12, 2) \,$ o como $(2, 3, \tfrac{1}{2})$. La representación del punto del infinito se obtiene igualando $w = 0 \,$, así:

$(x', y', 0) \,$

El punto del infinito del eje OX sería el $(1, 0, 0) \,$, el $(2, 0, 0) \,$, etc.

Véase también

• Coordenadas homogéneas
• Esfera de Riemann
• Compactación de Alexandrov
• Recta impropia