Puerta cuántica

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Una puerta cuántica o puerta lógica cuántica es un circuito cuántico básico que opera sobre un pequeño número de qubits. Son para los ordenadores cuánticos lo que las puertas lógicas son para los ordenadores digitales. Las puertas lógicas cuánticas son reversibles, al contrario que muchas puertas lógicas clásicas. Algunas puertas lógicas clásicas, como la puerta de Toffoli, proporcionan reversibilidad y pueden ser transformadas en puertas lógicas cuánticas. Las puertas lógicas cuánticas son representadas mediante matrices unitarias.

Las puertas cuánticas más comunes operan en espacios de uno o dos qubits. Esto significa que, como matrices, las puertas cuánticas pueden ser descritas por matrices 2×2 o 4×4 con filas ortonormales.

Nota: "Lógica cuántica" puede referirse tanto al comportamiento de las puertas lógicas cuánticas como al formalismo para mecánica cuántica llamado lógica cuántica, basado en la modificación de algunas de las reglas de la lógica proposicional.

Puertas comúnmente usadas[editar]

Las puertas cuánticas se suelen representar como matrices. Una puerta que opera sobre k qubits queda representada por una matriz unitaria de 2k x 2k. El número de qubits en la entrada y a la salida tienen que ser iguales. El resultado de la puerta cuántica se halla multiplicando la matriz que representa la puerta con el vector que representa el estado cuántico.

Puerta de Hadamard[editar]

Representación de la puerta de Hadamard en circuitos

Esta puerta opera sobre un único qubit. Se asigna el estado base |0\rangle a \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} y el |1\rangle a \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}, y representa una rotación de \pi sobre los ejes x y z. Se representa mediante la matriz de Hadamard:

 H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

Como las filas de la matriz son ortogonales, H es una matriz unitaria.

Puertas de desplazamiento de fase[editar]

Esta familia de puertas, que operan sobre un único qubit, dejan el estado base |0\rangle intacto y asignan el |1\rangle a e^{i\theta}|1\rangle. La probabilidad de medir un |0\rangle o un |1\rangle no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo si que modifican la fase del estado cuántico. Esto es equivalente a trazar un círculo horizontal (una linea de latitud) sobre la esfera de Bloch de \theta radianes. Estas puertas se representan por matrices 2 × 2 de la forma

 R(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \theta} \end{bmatrix}

donde θ es el desplazamiento. Algunos de las puertas más comunes son la puerta \frac{\pi}{8}, donde θ = \frac{\pi}{4}, la puerta de fase donde θ = \frac{\pi}{2} y la puerta de Pauli-Z donde θ = π.

Puerta SWAP[editar]

Representación de una puerta SWAP

Esta puerta intercambia dos qubits. Se representa por la matriz:

 \mbox{SWAP} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} .

Puertas controladas[editar]

Representación en circuitos de una puerta NOT controlada

Las puertas controladas operan sobre 2 qubits o más, de los cuales uno o más controlan la operación. Por ejemplo, la puerta NOT controlada (o CNOT) opera sobre 2 qubits, y realiza la operación NOT en el segundo qubit solo cuando el primer qubit es |1\rangle, y en otro caso lo deja intacto. Se representa por la matrix

 \mbox{CNOT} = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix} .

De forma general, supongamos ahora que U es una puerta que opera en un único qubit, y cuya representación matricial es:

 U =  \begin{bmatrix} x_{00} & x_{01} \\ x_{10} & x_{11} \end{bmatrix} ,

entonces la puerta-U controlada es una puerta que opera sobre dos qubits de manera que el primer qubit actúa como controlador. Se asigna los estados base como sigue:

Representación de una puerta-U controlada
 | 0 0 \rangle \mapsto | 0 0 \rangle
 | 0 1 \rangle \mapsto | 0 1 \rangle
 | 1 0 \rangle \mapsto | 1 \rangle U |0 \rangle = | 1 \rangle \left(x_{00} |0 \rangle + x_{10} |1 \rangle\right)
 | 1 1 \rangle \mapsto | 1 \rangle U |1 \rangle = | 1 \rangle \left(x_{01} |0 \rangle + x_{11} |1 \rangle\right)

Así, la matriz para la puerta controlada U es la siguiente:

 \operatorname{C}(U) =  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_{00} & x_{01} \\  0 & 0 & x_{10} & x_{11} \end{bmatrix}

Cuando U es una de las matrices de Pauli, σx, σy, ó σz, a veces se emplean respectivamente los términos "X-controlada", "Y-controlada", ó "Z-controlada".[1]

Puertas cuánticas universales[editar]

Un conjunto de puertas cuánticas universales es cualquier conjunto de puertas al cual puede ser reducida cualquier operación posible en un ordenador cuántico, es decir, cualquier otra operación unitaria puede ser expresada como una secuencia finita de puertas del conjunto.

Historia[editar]

La notación actual para las puertas cuánticas fue desarrollada por Barenco et al.[2]

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • M. Nielsen and I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000
  1. M. Nielsen and I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000
  2. Phys. Rev. A 52 3457–3467 (1995), DOI:10.1103/PhysRevA.52.3457; e-print arXiv:quant-ph/9503016