Prueba M de Weierstrass

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En matemáticas, la prueba M de Weierstrass es un criterio para comprobar la convergencia uniforme de una serie infinita cuyos términos son al mismo tiempo funciones de variable real o compleja.

Sea \{f_n\} una sucesión de funciones de variable real o compleja definidas en un conjunto A, y supongamos que para cada \{f_n\} existe una constante positiva M_n tal que

|f_n(x)|\leq M_n

para todo  n 1 y todo x en A. Supongamos también que la serie

\sum_{n=1}^{\infty} M_n

converge. Entonces la serie

\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)

converge uniformemente en A. En particular, si el conjunto A es un espacio topológico y las funciones f_n son continuas en A, entonces la serie converge a una función continua.

Una versión mas general de la prueba M de Weierstrass se mantiene si el codominio de las funciones \{f_n\} es cualquier espacio de Banach, en cuyo caso la afirmación

|f_n|\leq M_n

puede ser reemplazada por

\|f_n\|\leq M_n,

donde \|\cdot\| es la norma definida en el espacio de Banach.


Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Marsden Jerrold, Hoffman Michael, Análisis clásico elemental, W.H Freeman and Company, 1993.
  • Rudin, Walter (January de 1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8. 
  • Rudin, Walter (May de 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. 
  • Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.