Problema del final feliz

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El problema del final feliz: Todo conjunto de 5 puntos en posición general, contiene un subconjunto de vértices que forman un cuadrilátero convexo.

En matemática, el Problema del final feliz (nombrado así por Paul Erdős porque condujo a la relación y posterior matrimonio entre George Szekeres y Esther Klein) es el siguiente enunciado:

Cualquier conjunto de 5 puntos en el plano en posición general (no colineales) tiene un subconjunto de 4 puntos que son los vértices de un cuadrilátero convexo.

Éste es uno de los resultados que dio inicio al desarrollo de la teoría de Ramsey.

El Problema de final feliz puede ser probado por un simple análisis de casos:

  • Caso 1: Si los cinco puntos forman los vértices de un pentágono convexo, pueden ser elegidos 4 puntos cualquiera.
  • Caso 2: Si una configuración de puntos forma un triángulo con dos puntos interiores; los dos puntos interiores y dos vértices del triángulo pueden ser elegidos.
  • Caso 3: Si una configuración de puntos forma un cuadrílatero con un punto interior,este cuadrílatero es convexo.

La conjetura de Erdős-Szekeres es la extensión entre el número de puntos en un conjunto de puntos de posición general y su polígono convexo más grande construible. Aun no se tiene una solución general, pero se manejan casos particulares y cotas superiores e inferiores.

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