Probabilidad a posteriori

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En estadística Bayesiana, la probabilidad a posteriori de un evento aleatorio es la probabilidad condicional que es asignada después de que la evidencia es tomada en cuenta.

Definición[editar]

Teniendo la creencia a priori de que la función de distribución de probabilidad es p(\theta) y de que una observación X con la verosimilitud p(X|\theta), la probabilidad a posteriori es definida como p(\theta|X) \propto p(\theta)p(X|\theta).

Ejemplo[editar]

Supongamos que un colegio mixto donde el 60% de los estudiantes son chicos y el 40% son chicas. Las chicas llevan pantalón o falda en probabilidades iguales; los chicos siempre llevan pantalones. Un observador ve desde lejos a un estudiante aleatorio; lo único que puede distinguir el observador es que el o la estudiante lleva pantalones. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? La respuesta correcta se puede hallar usando el Teorema de Bayes.

El evento A es que el estudiante observado sea una chica, mientras que el evento B es que el estudiante observado lleva pantalones. Para hallar P(A|B), primero necesitamos saber:

  • P(A), o la probabilidad de que el estudiante sea una chica a pesar de cualquier otra información. Ya que el observador ve un estudiante aleatorio, y dado que todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser observados, y el porcentaje de chicas entre los estudiantes es el 40%, esta probabilidad es 0,4.
  • P(A'), o la probabilidad de que el estudiante observado sea un chico a pesar de cualquier otra información (A' es el complementario del evento A). Esto es el 60%, o 0,6.
  • P(B|A), o la probabilidad de que el estudiante que lleva pantalones sea una chica. Como tienen la misma probabilidad de llevar falda o pantalones, esto es 0,5.
  • P(B|A'), o la probabilidad de que el estudiante que lleva pantalones sea un chico. Esto es 1.
  • P(B), o la probabilidad de que un estudiante (aleatorio) lleve pantalones a pesar de cualquier otra información. Dado que P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A'), esto es 0,5×0,4 + 1×0,6 = 0,8.

Dados todos estos datos, la probabilidad de que el observador haya visto a una chica habiendo observado que lleva pantalones puede ser calculada sustituyendo estos valores en la fórmula:

P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)} = \frac{0,5 \times 0,4}{0,8} = 0,25.