Principio de los intervalos encajados

En matemática, se denomina familia de intervalos encajonados (o encajados) a una familia $\{I_1,I_2,\dots\}$ de subconjuntos de $\mathbb{R}$ tales que:

1. Cada uno de los conjuntos I_k es un intervalo, es decir, un conjunto de la forma $[a_k,b_k] = \{x \in \mathbb{R} | a_k \leq x \leq b_k\}$ (intervalo cerrado), $(a_k,b_k) = \{x \in \mathbb{R} | a_k < x < b_k\}$ (intervalo abierto), o semiabierto, en que la desigualdad es estricta solamente en uno de los extremos.
2. Se cumple que $\forall k \in \mathbb{N}, I_{k+1} \subset I_k$, esto es, cada intervalo I_k está contenido en el anterior.
3. Se tiene que, si los extremos de cada intervalo I_k son a_k y b_k, entonces $\lim_{n\rightarrow\infty} (b_k - a_k) = 0$, esto es, los intervalos se hacen cada vez más pequeños y terminan siendo de longitud menor a cualquier cantidad positiva.

Principio de los intervalos encajados

La pregunta que surge ante una familia de intervalos encajonados $\{I_1,I_2,\dots\}$ es saber si existen números reales que pertenezcan a todos los elementos de esta familia, es decir, saber si el conjunto:

$\bigcap_{k\in\mathbb{N}} I_k$

es vacío o no.

Podemos comprobar que en el caso de conjuntos abiertos no hay un resultado general. Por ejemplo, la familia de intervalos $I_k=(0,2^{-k}), k \in \mathbb{N}$ es una familia de intervalos todos ellos no vacíos pero con intersección vacía, ya que dado un $\varepsilon > 0$, ninguno de los intervalos I_k con $k > -\log_2(\varepsilon)$ contendrá a $\varepsilon$, y 0 no pertenece a ninguno de los I_k. En cambio, la familia de intervalos encajonados $I_k=(-2^{-k},2^{-k}), k \in \mathbb{N}$ sí posee intersección no vacía, ya que $\forall k \in \mathbb{N}, 0 \in I_k$.

En cambio, para las familias de intervalos encajonados existe un resultado general, conocido como teorema o principio de los intervalos encajados, que estipula lo siguiente:

Dada una familia de intervalos cerrados encajonados no vacíos $\{I_1,I_2,\dots\}$, ésta determina a un punto y solo uno, es decir, tiene por intersección a un conjunto de un solo elemento {x}.

La prueba de este teorema es una aplicación del teorema de las sucesiones monótonas. Si $I_k=[a_k,b_k] \forall k \in \mathbb{N}$, tenemos que, al estar cada intervalo contenido en el anterior, se tiene que la sucesión $\{a_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ es monótona creciente y acotada superiormente por b₁; asimismo, $\{b_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ es monótona decreciente y acotada inferiormente por a₁; luego, ambas sucesiones convergen a sendos valores a y b, respectivamente. Luego, por definición de intervalos encajonados, el límite de la sucesión (a_k - b_k) es 0, pero por teoremas de sucesiones este límite es a - b, por lo que concluimos que a = b. Al ser todos los intervalos I_k cerrados, vemos que este número límite pertenece a todos los intervalos de la familia.

Nótese que podemos demostrar que este teorema es lógicamente equivalente al axioma del supremo, es decir, podemos asumir este teorema como axioma y tomarlo como base para demostrar el axioma del supremo como un teorema y, por consiguiente, que el cuerpo de los números reales es un conjunto completo.

Este teorema tiene un análogo en los espacios n-dimensionales $\mathbb{R}^n$, que señala que cualquier familia de bolas cerradas encajadas $\bar{B}(\vec{x_0},r) = \{\vec{x}\in\mathbb{R}^n| \| \vec{x}-\vec{x_0}\| \leq r\}$ tiene por intersección un único punto.