Potencial de Lennard-Jones

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Potencial de Lennard-Jones para un dímero de argón.

Un par de átomos o moléculas neutros están sujetos a dos fuerzas distintas en el límite de una gran separación y de una pequeña separación: una fuerza atractiva actúa a grandes distancias (fuerza de Van Der Waals, o fuerza de dispersión) y una fuerza repulsiva actuando a pequeñas distancias (el resultado de la sobreposición de los orbitales electrónicos, conocido como la repulsión de Pauli). El potencial de Lennard-Jones (también conocido como el potencial L-J, el potencial 6-12 o, con menor frecuencia, como el potencial 12-6) es un modelo matemático sencillo para representar este comportamiento. Fue propuesto en 1924 por John Lennard-Jones.[1]

Formulación[editar]

EL potencial de Lennard-Jones es de la forma:

V(r) = 4\epsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right]

donde \, \epsilon es la profundidad del potencial, \, \sigma es la distancia (finita) en la que el potencial entre partículas es cero y r es la distancia entre partículas.

Estos parámetros pueden ser ajustados para reproducir datos experimentales o pueden ser deducidos de resultados muy precisos de cálculos de química cuántica. El término r^{-12} describe la repulsión y el término r^{-6} describe la atracción.

La función que describe la fuerza a la que están sujetas las partículas es opuesta al gradiente del potencial arriba descrito:

 \vec{F}(r)=-\vec\nabla V(r) = - \frac{dV(r)}{dr}\hat{r} = 4 \epsilon \left( 12\,{\frac {{\sigma}^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac{{\sigma}^{6}}{{r}^{7}}} \right) \hat{r}

El potencial de Lennard-Jones es una aproximación. La forma del término que describe la repulsión no tiene ninguna justificación teórica; la fuerza repulsiva debe depender exponencialmente de la distancia, pero el término de la formula de L-J es más conveniente debido a la facilidad y eficiencia de calcular r12 como el cuadrado de r6. Su origen físico está relacionado al principio de exclusión de Pauli: cuando dos nubes electrónicas circulando los átomos se empiezan a sobreponer, la energía del sistema aumenta abruptamente. El exponente 12 fue elegido exclusivamente por su facilidad de calculo.

Formas alternativas[editar]

La función del potencial de Lennard-Jones comúnmente se escribe de la siguiente forma:

V(r) = \epsilon \left[ \left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{r_{min}}{r}\right)^{6} \right]

donde \, r_{min} = \, 2^{1/6}\sigma es la distancia en la que el potencial se encuentra en un mínimo.

La formulación más sencilla, usada comúnmente por software de simulación, es:

V(r) = \frac{A}{r^{12}} - \frac{B}{r^6}

donde

\, A = 4 \epsilon \sigma^{12} \qquad B = 4 \epsilon \sigma^6 \qquad \sigma = \left( \frac{A}{B} \right)^{ \frac{1}{6} } \qquad \epsilon = \frac{B^2}{4 A}

Simulación de dinámica molecular: potencial truncado[editar]

En general, para ahorrar tiempo computacional, el potencial de Lennard-Jones es truncado en la distancia límite de \displaystyle r_c = 2.5 \sigma, donde


   \displaystyle 
   V ( r_c )
   =
   V ( 2.5 \sigma )
   =
   4 \epsilon
   \left[
      \left(
         \frac
	 {\sigma}
	 {2.5 \sigma}
      \right)^{12}
      -
      \left(
         \frac
	 {\sigma}
	 {2.5 \sigma}
      \right)^6
   \right]
   =
   -0.0163 \epsilon
   =
   -
   \frac
   {1}
   {61.3}
   \epsilon

i.e., en \displaystyle r_c = 2.5 \sigma, el potencial LJ \displaystyle V es aproximadamente 1/60 de su valor mínimo \displaystyle \epsilon (profundidad del potencial).

Después de \displaystyle r_c, se le asigna el valor 0 al potencial computacional.

Por otro lado, para evitar una discontinuidad en \displaystyle r_c, como se muestra en la ecuación 1, el potencial de LJ es desplazado ligeramente hacia arriba, de tal forma que el potencial computacional sea 0 exactamente en la distancia límite \displaystyle r_c.

Referencias[editar]

  1. Lennard-Jones, J. E. Cohesion. Proceedings of the Physical Society 1931, 43, 461-482.