Centro y eje instantáneo de rotación

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El centro instatáneo de rotación (CIR) (o polo de velocidades) y el eje instantáneo de rotación (EIR) son conceptos cinemáticos y geométricos fundamentales en la mecánica del sólidos. En dos dimensiones o alternativamente en un movimiento plano, sólo está definido en polo de velocidades o CIR, mientras que en el movimiento tridimensional debe recurrirse a la noción ligeramente más complicada de eje instantáneo de rotación.

En cuanto al concepto de polo de velocidades o CIR, aunque se intuye en algunas construcciones cinemáticas atribuidas a René Descartes, e Isaac Newton estuvo a punto de descubrirlo, en general se atribuye su descubrimiento a Johann Bernoulli (1742).

En tres dimensiones el concepto se generaliza a eje instantáneo de rotación. En cada instante el eje instantáneo de rotación (cuando está definido) es una respecto a la cual el cuerpo parece estar haciendo un movimiento de rotación alrededor del mismo más una posible traslación paralela al mismo.

Concepto[editar]

El polo de velocidades se obtiene como la intersección de las normales a las trayectorias (o a las velocidades) de dos puntos cualesquiera de un sólido plano. Ocurre que en un movimiento infinitesimal, la posición del polo no varía, de tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso más general, el único) de velocidad nula del sólido plano. Además, dicho movimiento infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del sólido alrededor del CIR, por lo que el movimiento real de un sólido plano puede interpretarse como una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del sólido, cambie de posición).

El polo podrá ser un punto impropio(en el infinito) cuando en el sólido haya dos puntos de velocidades paralelas; en caso contrario, será un punto de sólido móvil, aunque esté fuera de los límites físicos de dicho sólido (el sólido móvil define un plano, el plano móvil, al que pertenece él, su CIR).

En su movimiento, el CIR describe dos trayectorias: la base (curva polar fija) y la ruleta (curva polar móvil); siendo la primera el lugar geométrico de los puntos del plano fijo que en algún instante han coincidido con el CIR del plano móvil, y la segunda el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en algún instante han sido CIR. EL movimiento de un sólido móvil plano queda totalmente definido mediante el movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, tal y como lo demostró Cauchy en 1827.De ahí la importancia del CIR.

Se cumple que la velocidad (módulo) de un punto del sólido móvil plano es:

 v= \omega r \,

donde \omega es la velocidad angular del sólido plano (la misma para todos sus puntos), y r la distancia euclídea del punto en cuestión al CIR en cada instante. La dirección de la velocidad será la de la normal a la recta que une el punto y el CIR, y su sentido lo indicará el de ω (conocido).

Expresión[editar]

Centro instantáneo[editar]

Un movimiento plano de un sólido rígido se corresponde con una una isometría del plano euclideo, eso implica que la posición inicial y final de cualquier punto puede representarse mediante una transformación del tipo:

(*)\begin{bmatrix} x(t) \\ y(t) \\ 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & b_x \\
\sin \alpha & \cos \alpha & b_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{bmatrix}

Donde \scriptstyle \alpha = \alpha(t), b_i=b_i(t) son funciones del tiempo. Si \scriptstyle \alpha \ne 0, es decir, si el movimiento no es una traslación pura, puede verse que el punto de coordenadas:

(x_c(t),y_c(t))= \left(
-\frac{b_y(1+\cos \alpha) - b_x  \sin \alpha}{2\sin \alpha},
+\frac{b_x(1+\cos \alpha) + b_y  \sin \alpha}{2\sin \alpha} \right)

Es invariante por la transformación (*) y de hecho coincide con el centro instantáneo de rotación ya que el resto de puntos experimenta una velocidad proporcional a su distancia a dicho punto.

Eje instantáneo[editar]

La misma construcción anterior puede extenderse a la construcción de eje instáneo de rotación. En tres dimensiones, un movimiento de sólido rígido es una transformación del tipo:

\begin{bmatrix} \mathbf{r}(t) \\ 1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \mathbf{R} & \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{r}_0 \\ 1 \end{bmatrix}

donde \scriptstyle \mathbf{r}(t), \mathbf{r}_0 \in \R^3 y \scriptstyle \mathbf{R}(t) es una matriz ortogonal de rotación. El eje de rotación instatáneo está formado por todos los vectores \scriptstyle \mathbf{e} \in \R^3 que satisfacen la ecuación:

(\mathbf{1}-\mathbf{R})\mathbf{e} = \mathbf{b}

Se puede ver que todas las soluciones de la ecuación anterior (que es equivalente a un sistema compatible indeterminado) están sobre una misma recta que coincide con el eje de rotación instantáneo. Nótese que la matriz \scriptstyle \mathbf{1}-\mathbf{R} es singular ya que \scriptstyle \mathbf{R} tiene un autovalor igual a 1 (y el autovector asociado es paralelo al eje de rotación instantáneo).

Véase también[editar]