Politopo de cruce

En geometría, un politopo de cruce u ortoplex, es un politopo regular convexo que existe en cualquier número de dimensiones. Los vértices de un politopo de cruce consisten de todas las permutaciones de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).

En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un segmento de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el octaedro (uno de los cinco poliedros conocidos como sólidos platónicos. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.

2 dimensiones		3 dimensiones		4 dimensiones

El politopo de cruce es el dual del politopo de medida.

Cuatro dimensiones

El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de hexadecacoron o 16-cell, uno de los seis polícoros regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.

Dimensiones mayores

En n dimensiones con n > 4 existen sólo tres politopos regulares: el simplex, el politopo de medida, y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.

El politopo de cruce n-dimensional tiene 2n vértices, y 2ⁿ facetas (componentes (n−1)-dimensionales) todos los cuales son n−1-simplices. Las figuras de vértice son todas politopos de cruce (n−1)dimensionales. El símbolo de Schläfli del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.

El número de componentes k-dimensionales (vértices, aristas, caras, …, facetas) de un politopo de cruce n-dimensional está determinado por (ver coeficiente binomial):

$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$

Para los primeros n y k tendremos:

Elementos de los Politopos de Cruce

n	βn k11	Name(s) Grafo	Grafo 2n-gono	Grafo 2(n-1)-gono	Schläfli	Vértices	Aristas	Caras	3-caras	4-caras	5-caras	6-caras	7-caras	8-caras	9-caras
1	β1	Segmento 1-ortoplex			{}	2
2	β2 −111	Cuadrado 2-ortoplex Bicruce			{4} {}+{}	4	4
3	β3 011	Octaedro 3-orthoplex Tricruce			{3,4} {30,1,1} {}+{}+{}	6	12	8
4	β4 111	Hexadecacoron 4-orthoplex Tetracruce			{3,3,4} {31,1,1} 4{}	8	24	32	16
5	β5 211	5-ortoplex Pentacruce			{33,4} {32,1,1} 5{}	10	40	80	80	32
6	β6 311	6-ortoplex Hexacruce			{34,4} {33,1,1} 6{}	12	60	160	240	192	64
7	β7 411	7-ortoplex Heptacruce			{35,4} {34,1,1} 7{}	14	84	280	560	672	448	128
8	β8 511	8-ortoplex Octacruce			{36,4} {35,1,1} 8{}	16	112	448	1120	1792	1792	1024	256
9	β9 611	9-ortoplex Eneacruce			{37,4} {36,1,1} 9{}	18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512
10	β10 711	10-ortoplex Decacruce			{38,4} {37,1,1} 10{}	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
...
n	βn k11	n-ortoplex n-cruce			{3n − 2,4} {3n − 3,1,1} n{}	2n 0-caras, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-caras ..., 2n (n-1)-caras

Los vértices de un politopo de cruz alineado según los ejes están todos a igual distancia unos de otros en la Distancia Manhattan (L¹ norm). La Conjetura de Kusner's afirma que afirma que este conjunto de puntos 2D es el mayor conjunto equidistante posible para esta distancia.​

Véase también

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría.

• Geometría
• Geometría proyectiva (Matemáticas)
• Lista de politopos regulares
• politopo
• Plano proyectivo
• Proyección ortogonal
• Grafo
• Polígono de Petrie

Bibliografía

• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (3rd ed. edición). New York: Dover Publications. pp. 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Politopo de cruce.
• Weisstein, Eric W. «Cross polytope». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Polytope Viewer (Click <polytopes...> to select cross polytope.)

• Datos: Q1187914
• Multimedia: Cross-polytope graphs / Q1187914