Politopo de cruce

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En geometría, un politopo de cruce u ortoplex, es un politopo regular convexo que existe en cualquier número de dimensiones. Los vértices de un politopo de cruce consisten de todas las permutaciones de (±1, 0, 0, …, 0). El politopo de cruce es el casco o envoltorio convexo de sus vértices. (Nota: algunos autores definen al politopo convexo sólo como la envoltura de esta región).

En una dimensión, el politopo de cruce es simplemente un segmento de línea [−1, +1], en dos dimensiones es el cuadrado con vértices {(±1, 0), (0, ±1)}. En tres dimensiones es el octaedro (uno de los cinco poliedros conocidos como sólidos platónicos. Los politopos de cruce en mayor número de dimensiones son generalizaciones de estos.

Politopo de cruce de 2 dimensiones Politopo de cruce de 3 dimensiones Politopo de cruce de 4 dimensiones
2 dimensiones 3 dimensiones 4 dimensiones

El politopo de cruce es el dual del politopo de medida.

Cuatro dimensiones[editar]

El politopo de cruce de cuatro dimensiones tiene el nombre de hexadecacoron o 16-cell, uno de los seis polícoros regulares. Estos polícoros fueron descriptos originalmente por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX.

Dimensiones mayores[editar]

En n dimensiones con n > 4 existen sólo tres politopos regulares: el simplex, el politopo de medida, y el politopo de cruce, siendo estos dos últimos duales y el simplex auto-dual.

El politopo de cruce n-dimensional tiene 2n vértices, y 2n facetas (componentes (n−1)-dimensionales) todos los cuales son n−1-simplices. Las figuras de vértice son todas politopos de cruce (n−1)dimensionales. El símbolo de Schläfli del politopo de cruce es {3,3,…,3,4}.

El número de componentes k-dimensionales (vértices, aristas, caras, …, facetas) de un politopo de cruce n-dimensional está determinado por (ver coeficiente binomial):

2^{k+1}{n \choose {k+1}}

Para los primeros n y k tendremos:

Elementos de los Politopos de Cruce
n βn
k11
Name(s)
Grafo
Grafo
2n-gono
Grafo
2(n-1)-gono
Schläfli Vertices Aristas Caras 3-caras 4-caras 5-caras 6-caras 7-caras 8-caras 9-caras
1 β1 Segmento
1-ortoplex
Cross graph 1.svg {} 2                  
2 β2
−111
Cuadrado
2-ortoplex
Bicruce
Cross graph 2.png 2-orthoplex B1.svg {4}
{}+{}
4 4                
3 β3
011
Octaedro
3-orthoplex
Tricruce
3-orthoplex.svg 3-orthoplex B2.svg {3,4}
{30,1,1}
{}+{}+{}
6 12 8              
4 β4
111
Hexadecacoron
4-orthoplex
Tetracruce
4-orthoplex.svg 4-orthoplex B3.svg {3,3,4}
{31,1,1}
4{}
8 24 32 16            
5 β5
211
5-ortoplex
Pentacruce
5-orthoplex.svg 5-orthoplex B4.svg {33,4}
{32,1,1}
5{}
10 40 80 80 32          
6 β6
311
6-ortoplex
Hexacruce
6-orthoplex.svg 6-orthoplex B5.svg {34,4}
{33,1,1}
6{}
12 60 160 240 192 64        
7 β7
411
7-ortoplex
Heptacruce
7-orthoplex.svg 7-orthoplex B6.svg {35,4}
{34,1,1}
7{}
14 84 280 560 672 448 128      
8 β8
511
8-ortoplex
Octacruce
8-orthoplex.svg 8-orthoplex B7.svg {36,4}
{35,1,1}
8{}
16 112 448 1120 1792 1792 1024 256    
9 β9
611
9-ortoplex
Eneacruce
9-orthoplex.svg 9-orthoplex B8.svg {37,4}
{36,1,1}
9{}
18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512  
10 β10
711
10-ortoplex
Decacruce
10-orthoplex.svg 10-orthoplex B9.svg {38,4}
{37,1,1}
10{}
20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024
...
n βn
k11
n-ortoplex
n-cruce
{3n − 2,4}
{3n − 3,1,1}
n{}
2n 0-caras, ... 2^{k+1}{n\choose k+1} k-caras ..., 2n (n-1)-caras

Los vértices de un politopo de cruz alineado según los ejes están todos a igual distancia unos de otros en la Distancia Manhattan (L1 norm). La Conjetura de Kusner's afirma que afirma que este conjunto de puntos 2D es el mayor conjunto equidistante posible para esta distancia.[1]


Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Guy, Richard K. (1983), «An olla-podrida of open problems, often oddly posed», American Mathematical Monthly 90 (3): 196–200 .

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]