Polinomio simétrico

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En matemáticas, un polinomio simétrico es un polinomio en n variables P(X_1, X_2, ..., X_n), tal que si intercambiamos alguna de las variables el polinomio sigue siendo el mismo.

Ejemplos[editar]

Estos polinomios:

  • P(X_1, X_2) = X_1^3+ X_2^3-7
  • P(X_1, X_2) = 4 X_1  X_2
  • P(X_1, X_2, X_3) = X_1 X_2 X_3 - 2 X_1 X_2 - 2 X_1 X_3 - 2 X_2 X_3

son todos simétricos. El polinomio P(X_1, X_2) = X_1 - X_2 no es simétrico, ya que si intercambiamos X_1 y X_2 obtenemos el polinomio X_2 - X_1, que no es el mismo.

Los ladrillos constituyentes de los polinomios simétricos[editar]

Para cada n, existen n polinomios simétricos elementales en las variables X_1, X_2, ..., X_n. Son los ladrillos constituyentes para todos los polinomios simétricos en dichas variables, lo que quiere decir que todo polinomio simétrico en n variables puede obtenerse a partir de estos polinomios elementales mediante multiplicaciones y sumas. Más concretamente: cualquier polinomio simétrico en n variables es un polinomio de los n polinomios elementales simétricos en dichas variables. Por ejemplo, para n=2, sólo hay dos polinomios simétricos elementales, X_1+X_2 y X_1 X_2. El primer polinomio de la lista de arriba puede entonces escribirse como sigue:

P(X_1, X_2) = X_1^3+ X_2^3-7=(X_1+X_2)^3-3X_1X_2(X_1+X_2)-7.

Véase también[editar]

  • función simétrica - este término es empleado a veces para referirse a los polinomios simétricos.