Polinomios ortogonales

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Los polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal de cierto espacio de Hilbert. Los polinomios ortoganles son importantes porque aparecen en la teoría de ecuaciones diferenciales, muy especialmente en la teoría de Sturm-Liouville, la teoría de espacios de Hilbert, la teoría de la aproximación de funciones y la mecánica cuántica.

Espacios de Hilbert L_w^2(\R)[editar]

La mayoría de las familias \mathcal{F} de polinomios ortogonales más usados son bases ortogonales de un espacio de Hilbert L_w^2(I) de funciones de cuadrado integrable respecto al producto escalar con función de ponderación w(x)\,. Es decir:

\langle p_m, p_n \rangle_\mathcal{F} =
\int_{I\subset\R} p_m^*(x)p_n(x)w(x)\ dx =
N_m\delta_{mn}

Donde:

\langle \cdot, \cdot\rangle_\mathcal{F} es el producto escalar del espacio L_w^2(I).
N_m\, es un factor de normalización que vale 1 si la familia de polinomios es además ortonormal.
\delta_{mn}\, es el delta de Kronecker.

Además estos polinomios suelen ser los vectores propios de un operador diferencial lineal autoadjunto de segundo orden u operador Sturm-Liouville de la forma:

\mathcal{L}(y) = 
\frac{1}{w}\left[ -\frac{d}{dx}\left[p(x) \frac{dy}{dx} \right] + q(x) y \right]

Polinomios de Legendre[editar]

Los polinomios de Legendre son soluciones de la ecuación diferencial:[1]

(1-x^2)y'' -2xy' +n(n+1)y = 0, \qquad y(x) = P_n(x)
= \frac{1}{2^n} \frac{d^n}{dx^n} (1-x^2)^n, \qquad \{w = 1, I = [-1,1]\}

Polinomios de Hermite[editar]

Los polinomios de Hermite son soluciones de la ecuación diferencial:[2]

y'' -2xy' + 2ny = 0, \qquad y(x) = H_n(x)
= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} , \qquad \{w = e^{-x^2}, I = \R\}

Polinimos de Laguerre[editar]

xy'' + (1-x)y' + ny = 0, \qquad y(x) = L_n(x)
= e^x \frac{d^n}{dx^n} (x^ne^{-x}), \qquad \{w = e^{-x}, I = [0,\infty) \}

xy'' - (m+1-x)y' + (n-m)y = 0, \qquad y(x) = L_n^m(x)
= \frac{d^m}{dx^m} \left( e^x \frac{d^n}{dx^n} (x^ne^{-x}) \right), \qquad \{w = x^m e^{-x}, I = [0,\infty) \}

Polinomios de Chebyshov[editar]

Los polinomios de Chebyshov son soluciones de la ecuación diferencial:[5]

(1-x^2)y'' - xy' + n^2y = 0, \qquad y(x) = T_n(x) = \cos(n \arccos x), \qquad \{w = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, I = [-1,1] \}

Mecánica cuántica[editar]

En mecánica cuántica son de uso común las siguientes familias de polinomios ortogonales:

  • Los polinomios de Hermite aparecen en mecánica cuántica como soluciones del oscilador armónico unidimensional.
  • Los polinomios de Legendre y sus funciones asociadas aparecen en problemas cuánticos con simetría esférica, ya que los armónicos esféricos son funciones ortogonales sobre la esfera expresables mediante estos polinomios.

Referencia[editar]

  1. Spiegel et al., 1992, pp. 156-57
  2. Spiegel et al., 1992, pp. 158-59
  3. Spiegel et al., 1992, pp. 160-1
  4. Spiegel et al., 1992, pp. 162-3
  5. Spiegel et al., 1992, pp. 164-5

Bibliografía[editar]

  • Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). pp. p. 158–166. ISBN 84-7615-197-7.