Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

$x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,$

Desarrollando $y$ en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

$a_{k+1} = \frac{k-n}{(k+1)^2}a_k,\ \ k=0,1,2,...; \ \ \ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\,$

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por L_n(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general $y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$.

Definición

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

$L_n(x) = (1/(n!))e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})$

Que tras desarrollar queda de la forma:

$L_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^n {n \choose k} \frac{n!}{k!} x^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!k!k!} x^k$

algunos de estos polinomios son:

n	$L_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	$(1/2)(x^2-4x+2) \,$
3	$(1/6)(-x^3+9x^2-18x+6) \,$
4	$(1/24)(x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$
5	$(1/120)(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$
6	$(1/720)(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

$L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt$

Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.

Función generatriz

La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:

$\psi(x,t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{L_n(x)}{n!} t^n = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} {n \choose k} x^k t^n \ \ \ |t| < 1$

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

$\psi(x,t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} x^k t^k \sum_{m=0}^\infty {m+k \choose k} t^m$

Que sabiendo que $\ \scriptstyle \sum_{m=0}^\infty {m+k \choose k} t^m = \left ( \frac{1}{1-t} \right )^{k+1} \ \ \forall \ |t|<1$, y después de reagrupar queda de la forma:

$\psi(x,t) = \frac{1}{1-t} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left ( \frac{-xt}{1-t} \right )^k = \frac{1}{1-t} \exp{\left ( \frac{-xt}{1-t} \right ) }$

Relaciones de recurrencia

A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

$L_{n+1}(x) = ( (2n+1-x)L_n(x) - n^2L_{n-1}(x))/(n+1)\,$

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.

Ortogonalidad

Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

$\left \langle L_n | L_m \right \rangle = \int_0^\infty L_n(x) L_m(x) e^{-x} dx = (n!)^2\delta_{nm}$

No obstante podemos definir las funciones:

$\varphi_n(x) = \frac{1}{n!} L_n(x) e^{-x/2}$

Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

$\left \langle \varphi_n | \varphi_m \right \rangle = \int_0^\infty \varphi_n(x) \varphi_m(x) dx = \delta_{nm}$

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:

$x\varphi_n''(x) + \varphi_n'(x) + \left ( n + \frac{1}{2} - \frac{x}{2} \right ) \varphi_n(x) = 0$

Polinomios asociados de Laguerre

También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:

$xy''(x) + (m+1-x)y'(x) + (n-m)y(x) = 0\,$

Definición

Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:

$L_n^m(x) = \frac{1}{n!} \frac{d^m}{dx^m} L_n(x) = \frac{1}{n!} \frac{d^m}{dx^m} \left ( e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x}) \right ) \ \ \ m \leq n$

Aunque en ocasiones puede resultar ventajosa la siguiente definición:

$L_n^m(x) = e^x \frac{x^{-m}}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x}x^{n+m})$

Puede comprobarse que para m > n el polinomio asociado correspondiente vale 0. Asimismo, salta a la vista que $\scriptstyle L_n^0(x) = L_n(x)$.

Derivando, según la definición se obtiene:

$L_n^m(x) = \sum_{k=0}^{n-m} (-1)^k {n \choose k+m} \frac{1}{k!} x^k = \sum_{k=0}^{n-m} (-1)^k \frac{n!}{(n-m-k)!(k+m)!k!} x^k$

Función generatriz y relaciones de recurrencia

La función generatriz viene dada por:

$\psi_m(x,t) = (1-t)^{m+1} \sum_{n=m}^\infty L_n^m(x)t^n = \frac{1}{(1-t)^{m+1}} \exp{\left ( \frac{-xt}{1-t} \right )} \ \ \ |t| < 1$

De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:

$L_n^m(x) = L_n^{m+1}(x) - L_{n-1}^{m+1}(x)$

$\frac{d}{dx} L_n^m(x) = -L_{n-1}^{m+1}(x)$

$nL_n^m(x) = (n+m)L_{n-1}^m(x) - xL_{n-1}^{m+1}(x)$

$(n+1)L_{n+1}^m(x) = (2n+m+1-x)L_n^m(x) - (n+m)L_{n-1}^m(x)$

$x \frac{d}{dx} L_n^m(x) = n L_n^m(x) - (n+m) L_{n-1}^m(x)$

Ortogonalidad

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso $\scriptstyle x^{m}e^{-x}$. Se cumple que:

$\left \langle L_n^m | L_{n'}^{m} \right \rangle = \int_0^\infty e^{-x} x^{m} L_n^m(x) L_{n'}^{m}(x) dx = \frac{\Gamma(n+m+1)}{n!} \delta_{nn'}$

Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:

$\left \langle L_n^m | L_{n'}^{m} \right \rangle = \int_0^\infty e^{-x} x^{m+1} L_n^m(x) L_{n'}^{m}(x) dx = \frac{\Gamma(n+m+1)}{n!}(2n+m+1) \delta_{nn'}$

Donde $\scriptstyle \Gamma(k)$ es la función Gamma.

Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:

$\varphi_{nm}(x) = \sqrt{ \frac{n!}{\Gamma(n+m+1)} } e^{-x/2} x^{m/2} L_n^m(x)$

Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso $\scriptstyle x^2$ (debido a la forma que toma la integral de volúmen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:

$R_{nl}(\rho) = N e^{-\rho/2} \rho^l L_{n+l}^{2l+1}(\rho)$

En general las funciones construidas de la forma:

$\varphi_{n m \nu}(x) = e^{-x/2} x^\nu L_n^m(x)$

Son ortogonales respecto de la función peso $\scriptstyle x^{m-2\nu}$ y son solución de la ecuación:

$x \varphi_{n m \nu}''(x) + (m + 1 - 2\nu) \varphi_{n m \nu}'(x)+ \left [ n + \frac{m+1}{2} - \frac{x}{4} + \frac{\nu(\nu-m)}{x} \right ] \varphi_{n m \nu} = 0$

Relación con los polinomios de Hermite

Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:

$L_n^{-1/2}(x) = \frac{(-1)^n}{2^{2n}n!} H_{2n}(\sqrt{x})$

$L_n^{1/2}(x) = \frac{(-1)^n}{2^{2n+1}n!} \frac{H_{2n+1}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Véase también

• Polinomios de Legendre
• Polinomios de Hermite
• Ecuación diferencial
• Átomo hidrogenoide

Referencia

• Apuntes sobre polinomios de Laguerre de la Universidad de Chile
• Polinomios asociados de Laguerre en Wolfram Mathematica