Polígono (geometría)

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Polígonos.

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro.

La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’,[1] [2] [3] aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.

La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. A los matemáticos a menudo les interesan sólo las líneas poligonales cerradas y los polígonos simples (aquellos en los cuales sus lados sólo se intersecan en los vértices), y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180°), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un lado único; sin embargo, esos vértices podrían permitirse algunas veces. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de imágenes.

Línea poligonal[editar]

Se denomina línea poligonal al conjunto de segmentos unidos sucesivamente por sus extremos (el extremo de cada segmento es origen del siguiente), tal que dos segmentos sucesivos no están alineados (en tal caso se considera como un único segmento).[4]

Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas, un polígono está conformado por una línea poligonal cerrada.[5]

Elementos de un polígono[editar]

Hexágono regular.

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

  • Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
  • Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
  • Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
  • Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
  • Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
  • Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
  • Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
  • Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El interior es un abierto del plano.
  • Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto del plano.[6]
  • Si el complemento (exterior) de una región poligonal es inconexo, este constará de varios fragmentos conexos llamados componentes. Uno y solo uno de los componente es ilimitado; todos los demás son limitados, a estos últimos se llaman huecos. Cada hueco con su frontera es un polígono.[7]

En un polígono regular se puede distinguir, además:

  • Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
  • Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
  • Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
  • Diagonales totales  N_d =\frac{n(n-3)}{2}, en un polígono de n lados.
  • Intersecciones de diagonales  N_I =\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}, en un polígono de n vértices.

Clasificación[editar]

Clasificación de polígonos
según el número de lados
Nombre n.º lados
trígono, triángulo 3
tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero 4
pentágono 5
hexágono 6
heptágono 7
octógono u octágono 8
eneágono o nonágono 9
decágono 10
endecágono o undecágono 11
dodecágono 12
tridecágono 13
tetradecágono 14
pentadecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono 18
eneadecágono 19
isodecágono, icoságono 20
triacontágono 30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octocontágono 80
eneacontágono 90
hectágono 100
chiliágono 1000
miriágono 10 000
decemiriágono 100 000
hectamiriágono, megágono 1 000 000
apeirógono

Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta, o bien por la forma de su contorno.

Polígono
Simple
Convexo
Regular
Irregular
Cóncavo
Complejo

Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina[editar]

  • Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.[7]
  • Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
  • Convexo, si tiene todos sus ángulos internos menores que 180º. O bien, si un segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono yace en el interior de este.
  • Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; es el que tiene uno o varios ángulos mayores que 180º.
  • Equilátero, si tiene todos sus lados iguales.
  • Equiángulo, si tiene todos sus ángulos iguales.
  • Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
  • Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales.
  • Cruzado es un polígono plano que tiene dos lados no consecutivos secantes.[8] Por ejemplo una 'equis' que tiene unidos sus 'extremos' por dos lados que no se cortan.
  • Ortogonal o isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos x o y.[9]
  • Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
  • Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
  • Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).[7]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. «Polígono», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/?val=pol%C3%ADgono 
  2. Gran Larousse Universal. 
  3. «-Gono». Diccionario Etimológico de los sufijos españoles. 
  4. Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
  5. «Líneas polígonales y polígonos». Clarión. Consultado el 3 de octubre de 2012.
  6. Keedy, Nelson: "Geometría", cooperación de Alianza para el Progreso.
  7. a b c Carvalho: "Geometría computacional".
  8. "Diccionario de las matemáticas" ISBN 84-8055-355-3
  9. Bassam Al-Zarif Zabala. «Definiciones básicas empleadas». Iluminación de polígonos con reflectores. Consultado el 3 de octubre de 2012.

Enlaces externos[editar]