Paradoja del cuadrado perdido

Animación de la paradoja del cuadrado perdido.

La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas.

Está compuesta de cuatro piezas de Rompecabezas que pueden forman dos triángulos de base 13 y altura 5, formados por las mismas piezas, en uno aparenta tener un "agujero" de un cuadrado de un de lado.

Las piezas

Las cuatro piezas que forman el rompecabezas tienen una forma tamaño y superficie concreta. El área de cada pieza es:

La pieza roja

La pieza roja es un triángulo rectángulo de base 8 y altura 3 y, por tanto, su área es:

$A_{ro} = \cfrac{8 \cdot 3}{2} = 12$

La pieza azul

La pieza azul es también un triángulo rectángulo, de base 5 y altura 2 y, por tanto, su área es de:

$A_{az} = \cfrac{5 \cdot 2}{2} = 5$

La pieza verde

La pieza verde es un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 2 por 1, su área es:

$A_{ve} = 5 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 8$

La pieza amarilla

La pieza amarilla es, también, un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 3 por 1, su área es:

$A_{am} = 5 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 7$

La paradoja

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de:

$\begin{array}{lcr} A_{ro} & = & 12 \\ A_{az} & = & 5 \\ A_{ve} & = & 8 \\ A_{am} & = & 7 \\ \hline total & = & 32 \end{array}$

pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura, lo que supone un área de:

$A_{T} = \cfrac{13 \cdot 5}{2} = 32,5$

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas.

Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es:

$\tan (\alpha_{ro}) = \frac{3}{8} \; \longrightarrow \quad \alpha_{ro} = 20^\circ 33^{\prime} 21.76^{\prime\prime}$

mientras que en el azul es:

$\tan (\alpha_{az}) = \frac{2}{5} \; \longrightarrow \quad \alpha_{az} = 21^\circ 48^{\prime} 5.05^{\prime\prime}$

y en el triangulo total es:

$\tan (\alpha_{T}) = \frac{5}{13} \; \longrightarrow \quad \alpha_{T} = 21^\circ 2^{\prime} 15.04^{\prime\prime}$

Así, la suma de los tres ángulos en la figura de arriba es menor que 180°, mientras que en la figura de abajo la suma de los tres ángulos es mayor que 180°.

Véase también

• Rompecabezas
• Área
• Triángulo
• Rectángulo
• Tangente (trigonometría)
• Grado sexagesimal
• Sistema sexagesimal

Enlaces externos

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Versión imprimible de la paradoja del cuadrado perdido con un vídeo de demostración.
• Curry's Paradox: How Is It Possible? en cut-the-knot
• Triangles and Paradoxes en archimedes-lab.org
• The Triangle Problem or What's Wrong with the Obvious Truth