Paradoja de Braess

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La paradoja de Braess dicta que al agregar mayor capacidad a una red, cuando las entidades por ella escogen la ruta de forma egoísta, puede en algunos casos reducir el desempeño de toda la red. La paradoja fue presentada en 1968 por el matemático alemán Dietrich Braess. El trabajo original de Braess mostraba una situación paradójica, en la que la construcción de una vía adicional (inversión de capital), llevaba a que, con la misma demanda de tráfico, los tiempos de viaje para todos los usuarios de la red aumentaran.

Principios teóricos[editar]

Un principio básico que es necesario entender antes de entrar en el ejemplo de la paradoja es que cuantos más automóviles usan una vía, más se reduce la velocidad de todos los vehículos que la usan y se llega a un mayor tiempo de viaje. Aquellas vías que tienen mayor capacidad (por ejemplo, más carriles para tráfico) podrán albergar más vehículos sin que la velocidad se vea afectada, mientras que vías con poca capacidad se congestionan más rápido.

El siguiente principio tiene que ver con que los usuarios de las vías tienden a escoger la ruta que más les conviene individualmente (por eso se les llama usuarios “egoístas”) y esto implica que cada usuario tratará de buscar la ruta que le represente menores tiempos de viaje (ver primer principio de Wardrop) Las dos rutas son idénticas. En este caso, bajo el principio de que los conductores escogen la ruta de forma egoísta (cada usuario buscará minimizar su tiempo de viaje), al final se repartirán de tal forma que por los dos lados haya igual congestión.

La paradoja[editar]

Figura 1. Red antes de la modificación.

Braess demostró con un ejemplo simple, cómo al agregar más vías en una red de tráfico, se puede llegar a empeorar el desempeño de todos los usuarios. La red clásica para mostrar esta paradoja se presenta en la figura 1. Los árcos rojos representan autopistas de gran capacidad, mientras que los arcos amarillos representan vías de baja capacidad. Al añadir una vía entre los puntos X y Y, los tiempos de todos los usuarios empeoran sustancialmente (figura 2). Esto constituye una paradoja en la medida en que se espera que al realizar una inversión en vías, los tiempos de los usuarios disminuyan, no que aumenten. Aunque este es un caso teórico, se han podido encontrar algunos ejemplos de la vida real, no solo en redes de transporte, sino también en otro tipo de redes.[1]

Figura 2. Red con la construcción de un nuevo arco entre los puntos X y Y.

Ejemplo[editar]

Figura 3. Imagen de la red

Determine el número de vehículos por cada una de las posibles rutas y los tiempos de viaje, antes y después de la construcción de la vía entre A y B. El número total de vehículos por que van del punto START al punto END es 4.000.

Red original[editar]

Suponga que ese tiene una red como la de la figura 3. Los arcos de baja capacidad tiene la siguiente función de congestión:

t_i=t_0\frac{V_a}{100} .

Para los arcos de alta capacidad (autopistas), el número de vehículos no les afecta los tiempos de viaje. Para este ejemplo, esos arcos tendrán un tiempo de viaje de 45 min. Antes de la construcción de la nueva vía (línea punteada) existen solamente dos posibles rutas entre los puntos START y END. Los tiempos para los viajeros que circulan por la ruta que pasa por la ciudad A se calculan con:

t_a=\frac{V_A}{100} + 45 .

Los tiempos para los viajeros que circulan por la ruta que pasa por la ciudad B se calculan con:

t_a=\frac{V_B}{100} + 45 .

La restricción para el problema de optimización es:

V_A + V_B = 4000.

Sustituyendo la restricción en una de las dos ecuaciones e igualando con la sobrante, se obtiene que V_A = V_B = 2.000. Con esta solución, los usuaris por cualquiera de las dos vías se tardarán \tfrac{2000}{100} + 45 = 65 minutos.

Red modificada[editar]

Ahora suponga que se construye una vía que permite conectar A y B en un tiempo muy corto (un par de minutos). Los viajeros que quieren llegar a B desde el punto de inicio, preferirán tomar la ruta pasando por A y usando el nuevo tramo AB ya que \tfrac{V_T}{100} +1 = \tfrac{4000}{100} + 1= 41 <45. Al final, todos los usuarios tomarán la misma ruta y el tiempo total de viaje será:

\tfrac{4000}{100} + 1 + \tfrac{4000}{100} = 81 minutos.

Este tiempo es mayor que el tiempo antes de hacer la mejora.

Referencias[editar]

  1. C. Fisk und S. Pallotion: Empirical Evidence for Equilibrium Paradoxes With Implications for Optimal Planning Strategies. TRANSPORT. RES. Vol. 15A, no. 3, pp. 245-248. 1981