Orden monomial

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En Álgebra, un orden monomial es una ordenación del conjunto de monomios de un anillo, que se utiliza para poder establecer un algoritmo de división en polinomios de varias variables.

Definición[editar]

Sea R un anillo conmutativo y S:=\{x_1, ..., x_n\} un conjunto de indeterminadas. Sea \mathcal{M} el conjunto de monomios sobre S (como es habitual, denotamos por X al monomio x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n, y dado el multiíndice \alpha = (\alpha_1, ..., \alpha_n)\in \mathbb{N}^n, denotarmos por X^\alpha al monomio x_1^{\alpha_1} \cdot ... \cdot x_n^{\alpha_n}; aquí entenderemos por monomios a productos de indeterminadas, sin coeficientes en el anillo). Se dice que < es un orden monomial si se cumple que:

  • < es un orden total en \mathcal{M}.
  • Dados \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}^n de manera que X^\alpha < X^\beta, entonces se cumle que X^\alpha X^\gamma < X^\beta X^\gamma.

En algunos textos se exige otra condición, la de que < sea un buen orden en \mathcal{M}. Nosotros denominaremos orden monomial global a todo orden monomial que también es buen orden. Esto se hace así para permitir ciertos tipos de órdenes monomiales sobre anillos locales que resultan ser muy útiles.

Orden monomial global[editar]

Un orden monomial < sobre \mathcal{M} se dice que:

  • es artiniano si todo subconjunto no vacío tiene elemento mínimo (es decir, es buen orden);
  • es global si toda variable es mayor que la unidad del anillo, es decir, 1<x_i cualquiera que sea el i \in \{1,...,n\};
  • refina el orden parcial definido por la división si se cumple que X^\alpha < X^\beta si X^\alpha divide a X^\beta.

El hecho de que un orden monomial sea global es equivalente a que sea artiniano y a que refine el orden parcial definido por la división.

Orden monomial local[editar]

Un orden monomial < sobre \mathcal{M} se dice que es local si la unidad del anillo es mayor que toda variable, es decir, si x_i<1 cualquiera que sea el i \in \{1,...,n\}.

Referencias[editar]

  • David A. Cox, John B. Little, Don O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms (Springer Verlag, 2ª edición, 1997) ISBN 0-387-9480-2.