Disyunción exclusiva

Disyunción exclusiva
	; Diagrama de Venn de la conectiva
Nomenclatura
Lenguaje natural	A o B pero no ambos
Lenguaje formal
Operador booleano
Puerta lógica
Tabla de verdad
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En lógica proposicional, la disyunción exclusiva (también llamado bidisyuntor lógico, disyuntor excluyente, "or" fuerte, "or" exclusivo, o desigualdad material) es un operador lógico simbolizado como XOR, EOR, EXOR, ⊻ , ⊕ o $\nleftrightarrow$ es un tipo de disyunción lógica de dos operandos.

Definición[editar]

Podemos definir la disyunción exclusiva: $\nleftrightarrow$ , a través de la función de verdad de sus conectivas lógicas:

{\begin{array}{rccl}\nleftrightarrow :&{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}&\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&(a,b)&\mapsto &c=a\nleftrightarrow b\end{array}}

Una disyunción exclusiva solamente es verdadera cuando ambas frases tienen valores diferentes y es falsa si las dos frases son ambas verdaderas o ambas falsas.

La tabla de la verdad de la disyunción exclusiva es esta

a	b	$a\nleftrightarrow b$
F	F	F
V	F	V
F	V	V
V	V	F

Demarcación y equivalencias[editar]

La diferencia entre la disyunción exclusiva y la disyunción inclusiva es que en la disyunción inclusiva hay "información adicional",^[1] que "del inicio es claro que uno de las dos alternativas debe ser verdadera",^[2] es decir que no sólo al menos que una situación, sino que más de una de las dos situaciones existen.^[1]

Las equivalencias de la disyunción exclusiva incluye:

Negación de la bicondicional $\neg (A\leftrightarrow B)$ ^[3]
$(A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)$
$(A\vee B)\wedge (\neg A\vee \neg B)$
$(A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)$ .

Significado y aplicaciones prácticas[editar]

La importancia de la disyunción exclusiva en la lógica moderna es baja, "porque deja formular pocas relaciones."^[4] Sin embargo, en el Álgebra de Boole la disyunción exclusiva es de gran importancia; la propiedad, que la doble aplicación de la disyunción exclusiva resulta en la identidad, es útil en la criptografía, donde deja de utilizar la misma función en el cifrado y el desciframiento, y también en el uso del sistema RAID.

Véase también: Puerta_XOR#Aplicaciones

Equivalencias, simplificación, e introducción[editar]

La disyunción exclusiva $p\nleftrightarrow q$ puede ser expresada en términos de conjunción lógica ( $\wedge$ ), disyunción lógica ( $\lor$ ), y negación ( $\lnot$ ) de la siguiente manera:

{\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}

La disyunción exclusiva $p\nleftrightarrow q$ puede ser expresada de la siguiente manera:

{\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador $\lnot$ y un número reducido de operadores $\wedge$ y $\lor$ . La prueba de esta identidad es la siguiente:

{\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot p)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}

A veces es útil escribir $p\nleftrightarrow q$ de las siguientes formas:

{\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

Propiedades de la disyunción exclusiva[editar]

La disyunción exclusiva es asociativa y conmutativa. Además, es su propia inversa y distributiva con respecto a la conjunción lógica, mas no con respecto a la condicional: $A\wedge (B\nleftrightarrow C)=(A\wedge B)\nleftrightarrow (A\wedge C)$

Véase también[editar]

Referencias[editar]

↑ ^a ^b Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51
↑ Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002), Disjunktion
↑ Hilbert/Ackermann: Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 6; Reichenbach: Grundzüge der symbolischen Logik (1999), S. 33
↑ Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 98 Fn. 33

Datos: Q498186
Multimedia: Exclusive disjunction / Q498186

[Essler51-1] Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51

[2] Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002), Disjunktion

[3] Hilbert/Ackermann: Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 6; Reichenbach: Grundzüge der symbolischen Logik (1999), S. 33

[4] Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 98 Fn. 33

[1]

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Conectivas lógicas

Tautología $\top$ Conjunción opuesta $\uparrow$ Implicación opuesta $\leftarrow$ Condicional material $\rightarrow$ Disyunción lógica $\lor$ Negación lógica $\lnot$ Disyunción exclusiva $\nleftrightarrow$ Bicondicional $\leftrightarrow$ Afirmación lógica Disyunción opuesta $\downarrow$ Adjunción lógica $\nrightarrow$ Adjunción opuesta $\nleftarrow$ Conjunción lógica $\land$ Contradicción $\bot$
v t e