Factorial

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n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.008.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 30.414.093.201.713.378.043 × 1045
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
100.000 2,8242294079... × 10456.573

El factorial de un entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define en principio como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Por ejemplo,

5! = 1  \times  2  \times  3  \times  4  \times  5 = 120.  \

La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmente en combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos (elementos sin repetición). Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos hindúes. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático.

Definición[editar]

La función factorial es formalmente definida mediante el producto


   n! =
   1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n
.

La multiplicación anterior se puede simbolizar también utilizando el operador productorio:


   n! =
   \prod_{k=1}^n k
.

También es posible definirlo mediante la relación de recurrencia


   n! =
   \begin{cases}
      1              & \text{si, } n = 0 \\
      (n-1)!\times n & \text{si, } n > 0
   \end{cases}

En esta segunda definición el dominio de la función es el conjunto de los enteros no negativos ℤ≥0 y el codominio es el conjunto de los enteros positivos ℤ+.[1] En este caso hay una sucesión recurrente, el cálculo sucesivo de sus elementos se llama proceso recurrente y la igualdad n! = (n - 1)!n se nombra ecuación recurrente.[2]

Todas las definiciones anteriores incorporan la premisa de que


   0! = 1

Cero factorial[editar]

La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.

Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como:


   0! = 1

Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:

  • Para cada número entero positivo n mayor que 1, es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:

   (n-1)! =
   \frac{n!}{n}

válida para todo número mayor o igual que 1.

Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque


   \frac{5!}{5} =
   \frac{120}{5} =
   24

y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que


   \frac{4!}{4} =
   \frac{24}{4} =
   6

El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que:


   2! =
   \frac{3!}{3} =
   \frac{6}{3} = 2
   ,\qquad
   1! =
   \frac{2!}{2} =
   \frac{2}{2} =
   1

Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n!=1 tendríamos que 0! corresponde a:


   0! =
   \frac{1!}{1} =
   \frac{1}{1} =
   1

Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.

Aplicaciones[editar]

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:


   (a+b)^n =
   {n\choose 0}a^n +
   {n\choose 1} a^{n-1} b +
   {n \choose 2} a^{n-2}b^2 +
   \cdots +
   {n\choose n-1} ab^{n-1} +
   {n\choose n}b^n

donde {n \choose k} representa un coeficiente binomial:


   {n\choose k} =
   \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.

Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:


   n!\approx
   \sqrt{2 \pi n}
   \left (
      \frac{n}{e} \right )^{n}
          \left (
              1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}+\cdots
          \right )

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que


\Gamma(n) =
   (n-1)! =
   \int^\infty_0 \; t^{n-1} e^{-t} \; dt  \,

sólo para n > 0. Se puede generalizar aún más, para todo número complejo z que no sea igual a un entero no positivo, mediante la siguiente definición:


\Gamma(z)=(z-1)!=\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \,

Productos similares[editar]

Primorial[editar]

El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.

Doble factorial[editar]

Se define el doble factorial de n mediante la relación de recurrencia:


   n!! =
   \left \{
   \begin{array}{lcl}
      1               & \mbox{si} & n \leq 0  \\
      (n-2)!! \cdot n & \mbox{si} & n > 0  \\
   \end{array}
   \right .

Por ejemplo:


   8!! =
   2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 =
   384

   9!! =
   1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 =
   945

La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para:


   n =
   0, 1, 2, \dots

empieza así:


   1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, \dots

La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:


  (n-2)!! =
   \frac{n!!}{n}

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para:


   n =
   -1, -3, -5, -7, \dots

   1, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{15}, \dots

El doble factorial de un número negativo par no está definido.

Algunas identidades de los dobles factoriales:

  1. n!=n!!(n-1)!! \,
  2. (2n)!!=2^nn! \,
  3. (2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
  4. (2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}
  5. \Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}
  6. \Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}

Implementación en lenguajes de programación[editar]

La función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dos métodos, el iterativo, es decir, realiza un bucle en el que se multiplica una variable temporal por cada número natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.

Referencias y citas[editar]

  1. «Sucesiones recurrentes» de A. I. Markushévich, Editorial Progreso, 1998
  2. Fuente ut supra

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]