Número trascendente

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Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.

En general, si tenemos dos cuerpos $(K,+,\cdot)$ y $(L,+,\cdot)$ de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que $\alpha \in L$ es trascendente sobre $K$ si no existe ningún polinomio $p \in K[x]$ del que $\alpha\,$ es raíz ( $p(\alpha)=0\,$ ).

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable. Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler ( $\gamma\,$ ) lo es, siendo $\gamma\,$ = $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\cdots + \frac{1}{n} - \ln(n)$ , cuando $n \to +\infty \,\!$ . De hecho, ni siquiera se sabe si $\gamma$ es racional o irracional.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

[editar] Historia

La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville:

${\sum_{k=1}^\infty} 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots$

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos (véase Número construible; es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

[editar] Ejemplos

Una lista de los números trascendentes más comunes:

e
π
$2^{\sqrt{2}}$ o, de forma más general, $a^b\,$ donde $a \neq 0,1$ es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si $a^b\,$ es trascendental cuando $a \neq 0,1$ es algebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el teorema de Gelfond-Schneider.

$\ln(a)\,$ si a es positivo, racional y diferente de 1. Véase logaritmo natural
$\Gamma\left(\frac{1}{3}\right)$ y $\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)$ (véase función Gamma).
número de Champernowne: C₁₀ = 0.123456789101112131415161718192021...
$\Omega\,$ , constante de Chaitin.
$\sum_{k=0}^\infty 10^{-\lfloor \beta^{k} \rfloor};\qquad \beta > 1\; ,$

donde $\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor$ es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000...