Número superreal

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En análisis matemático y álgebra abstracta, los números superreales son una extensión de los números reales, introducida por H. Garth Dales y W. Hugh Woodin como generalización de los números hiperreales cuyo interés fundamental aparece en análisis no estándar, teoría de modelos y el estudio de las álgebras de Banach. Algebraicamente constituyen un cuerpo que de hecho es un subcuerpo de los números surreales:

Los superreales de Dales y Woodin se diferencia de los super-reales de David O. Tall, que no son otra cosa que el cuerpo fracciones de las series de potencias formales con coeficientes den los reales dotadas de un orden lexicográfico[1]

Definición formal[editar]

Supóngase que X es un espacio de Tikhonov, también llamado un espacio T3.5, y sea C(X) el álgebra de funciones reales definidas sobre X. Dentro de esta álgebra búsquese un ideal primo P\subset C(X), y búsquese el álgebra cociente A = C(X)/P que por definición es un dominio de integridad y un álgebra sobre los reales que además puede ser considerada un conjunto totalmente ordenado. El cuerpo de fracciones F de esta álgebra A es precisamente el cuerpo de los números superreales, si dicho cuerpo de fracciones contiene estrictamente un conjunto identificable con los números reales \R, de tal manera que F no es isomorfo en orden a \R. Si el ideal P es además un ideal primo y por tanto un ideal maximal, entonces F coincide con el cuerpo de los números hiperreales de A. Robinson. Por lo cual los números hiperreales pueden considerarse un caso particular de números superreales.

Referencias[editar]

  1. David Tall, "Looking at graphs through infinitesimal microscopes, windows and telescopes," Mathematical Gazette, 64 22– 49, reprint at http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/downloads.html

Bibliografía[editar]