Número primo de Pierpont

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Un número primo de Pierpont es un número primo de la forma

2^u 3^v + 1\,

para u y v enteros no negativos. Se llaman así en honor al matemático James Pierpont.

Se puede demostrar que, si v = 0 y u > 0, entonces u debe ser una potencia de 2, y el número primo será por tanto de Fermat. Si v es positivo, entonces u también es positivo, y el número primo de Pierpont es de la forma 6k + 1 (ya que si u = 0 y v > 0 entonces 2u3v + 1 es un número par mayor que 2 y por tanto compuesto).

Los primeros números primos de Pierpont son:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769... (sucesión A005109 en OEIS).

Distribución de los números primos de Pierpont[editar]

Andrew Gleason conjeturó que hay infinitos números primos de Pierpont. No son especialmente raros y la factorización algebraica impone pocas restricciones en comparación con, por ejemplo, los números primos de Mersenne, cuyo exponente debe ser primo. Hay 36 números primos de Pierpont menores que 106, 59 que son menores que 109, 151 menores que 1020 y 789 menores que 10100; según la conjetura hay O(log N) números primos de Pierpont menores que N, mientras que sólo se conjetura la existencia de O(log log N) números primos de Mersenne en ese rango.

Números primos de Pierpont como factores de números de Fermat[editar]

En la búsqueda de factores de números de Fermat, se han descubierto algunos que son números primos de Pierpont. La siguiente tabla[1] muestra los valores de m, k y n tales que

k\cdot 2^n + 1\text{ divide a }2^{2^m} + 1. \,

En esta expresión, el número de la izquierda es un número primo de Pierpont cuando k es una potencia de 3, mientras que el número de la derecha es un número de Fermat.

m k n Año Descubridor
38 3 41 1903 Cullen, Cunningham y Western
63 9 67 1956 Robinson
207 3 209 1956 Robinson
452 27 455 1956 Robinson
9428 9 9431 1983 Keller
12185 81 12189 1993 Dubner
28281 81 28285 1996 Taura
157167 3 157169 1995 Young
213319 3 213321 1996 Young
303088 3 303093 1998 Young
382447 3 382449 1999 Cosgrave y Gallot
461076 9 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman y Gallot
672005 27 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman y Gallot
2145351 3 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman y Gallot
2478782 3 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman y Gallot

A fecha de 2008, el mayor número primo de Pierpont que se conoce es 3 · 22478785 + 1,[2] cuya primalidad fue descubierta por John B. Cosgrave en 2003 con la ayuda de un programa de Paul Jobling, George Woltman e Yves Gallot.[3]

En las matemáticas del origami, los axiomas de Huzita-Hatori definen seis de los siete tipos de dobleces que se pueden presentar. Se ha demostrado que estas dobleces son suficientes para construir cualquier polígono regular de N lados, siempre que N > 3 y sea de la forma 2m3nρ, donde ρ es el producto de números primos de Pierpont distintos. Esta es la misma clase de polígonos regulares que se pueden construir con regla, compás y trisectriz de ángulos. Los polígonos construibles únicamente con regla y compás constituyen el caso especial en que n = 0 y ρ es un producto de números primos de Fermat distintos, a su vez un subconjunto de los números primos de Pierpont.

Referencias[editar]

  1. Wilfrid Keller, Fermat factoring status. (en inglés)
  2. Chris Caldwell, The largest known primes en The Prime Pages. (en inglés)
  3. Proof-code: g245 en The Prime Pages. (en inglés)