Número de Giuga

Un Número de Giuga es un número compuesto n tal que cada uno de sus factores primos p_i es un divisor de ${n \over p_i} - 1$. Otra comprobación es si la congruencia $nB_{\phi(n)} \equiv -1 \pmod n$ es cierta, siendo B un número de Bernoulli. Los números Giuga reciben su nombre del matemático Giuseppe Giuga, y se relacionan con su conjetura sobre los números primos.

La secuencia de Giuga comienza con los números 30, 858, 1722, 66198, 2214408306... ((sucesión A007850 en OEIS)).

Por ejemplo, 30 es un número de Giuga porque sus factores primos son 2, 3 y 5, y se cumple que:

• 30/2 - 1 = 14, que es divisible por 2,
• 30/3 - 1 = 9, que es 3 al cuadrado, y
• 30/5 - 1 = 5, es decir, el propio tercer factor primo.

Los factores primos de un número de Giuga deben ser distintos. Si $p^2$ es divisor de $n$, entonces se sigue que ${n \over p} - 1 = n'-1$, donde $n'$ es divisible por $p$. Por lo tanto, $n'-1$ no sería divisible por $p$, y por lo tanto $n$ no sería un número de Giuga.

Por ello, sólo los números libres de cuadrados pueden ser números de Giuga. Por ejemplo, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5, y 60/2 - 1 = 29, que no es divisible entre 2, por lo que 60 no es un número de Giuga. Tampoco los números semiprimos puede ser números de Giuga, porque si $n=p_1p_2$, con $p_1<p_2$ primos, entonces ${n \over p_2} - 1 =p_1 - 1 <p_2$, por lo que $p_2$ no será divisor de ${n \over p_2} - 1$, y por lo tanto $n$ no será un número de Giuga.

Todos los números de Giuga conocidos por ahora son pares. Si existe un número de Giuga impar, tiene que ser el producto de al menos 14 números primos. Se desconoce si hay infinitos números de Giuga.

Paolo P. Lava (2009) ha conjecturado que los números de Giuga son la solucion de la ecuacion n'=n+1 siendo n' la derivada aritmetica de n.

Véase también

• Número de Carmichael

Referencias

• Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B. y Girgensohn, R. "Giuga's Conjecture on Primality." American Mathematical Monthly 103, pp. 40-50, 1996.
• Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava - "103 curiosità matematiche", Hoepli, Milan 2010