Número cuántico de momento angular total

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"Conos vectoriales" del momento angular total J (púrpura), momento angular orbital L (azul), y momento angular de espín S (verde). Los conos surgen debido a la incertidumbre cuántica al medir las componentes del momento angular.

En mecánica cuántica, el número cuántico de momento angular total es un número cuántico que cuantiza el momento angular total de una partícula dada, mediante la combinación de su momento angular orbital y su momento angular intrínseco o propio (es decir, su espín).

Si s es el momento angular de espín de la partícula y es el vector momento angular orbital, el momento angular total j es[1]

 \mathbf j = \mathbf s + \boldsymbol {\ell}

El número cuántico asociado es el número cuántico principal de momento angular total j. Puede tomar la siguiente gama de valores, comprendidos entre -s y +s, pudiendo tomar solamente incrementos enteros:

|\ell - s| \le j \le \ell + s

donde es el número cuántico azimutal (cuantización del momento angular orbital), y s es el número cuántico de espín (cuantización del espín).

La relación entre el vector momento angular total j y el número cuántico de momento angular total j viene dada por la relación habitual (ver número cuántico de momento angular)

 \vert \mathbf j \vert = \sqrt{j \, (j+1)} \, \hbar

La proyección sobre el eje z del vector j viene dada por

j_z = m_j \, \hbar

donde mj es el número cuántico secundario de momento angular total. Puede tomar valores desde −j a +j incrementándose por unidades enteras. Esto genera 2·j + 1 valores diferentes de mj.

El momento angular total se corresponde con el invariante de Casimir del álgebra de Lie so(3) del grupo de rotación en tres dimensiones.

Definición vectorial[editar]

Debido a la interacción espín-órbita en el átomo, el momento angular orbital no conmuta con el hamiltoniano ni con el espín. Por lo tanto estos cambian con el tiempo. Sin embargo, el momento angular total J conmuta con el hamiltoniano y así es constante. J se define mediante

\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}

siendo L el momento angular orbital y S el espín. El momento angular total cumple con las mismas relaciones de conmutación que el momento angular orbital, es decir

[J_i, J_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} J_k

de la que se sigue

\left[J_i, J^2 \right] = 0

donde Ji representa Jx, Jy, y Jz.

Los números cuánticos que describen el sistema (constantes en el tiempo) ahora son j y mj, definidos a través de la acción de J sobre la función de onda \Psi

\mathbf{J}^2\Psi = \hbar^2{j(j+1)}\Psi
\mathbf{J}_z\Psi = \hbar{m_j}\Psi

Así que j se relaciona con la norma del momento angular total y mj con su proyección a lo largo de un eje especificado.

Como con cualquier momento angular en la mecánica cuántica, la proyección de J a lo largo de otros ejes no pueden ser co-definida con Jz, debido a que no conmutan.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Momento Angular Nuclear. El núcleo y sus radiaciones. UNLP. Pág. 7.
  • Introduction to Quantum Mechanics (2ª ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X. 

Enlaces externos[editar]