Movimiento rectilíneo

En el movimiento rectilíneo, la trayectoria que describe el móvil de una línea recta. Algunos tipos notables de movimiento rectilineo son:

• Movimiento rectilíneo uniforme: cuando la velocidad es constante.
• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: cuando la aceleración es constante.
• Movimiento armónico simple unidimensional: cuando la aceleración es directamente proporcional a la elongación (distancia a la posición de equilibrio) y está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.

En mecánica el movimiento rectilíneo es uno de los ejemplos más sencillos de movimiento, en el que la velocidad tiene dirección constante (aunque pueda tener en algunos casos aceleración), además hay fuerza y aceleración, estas son siempre paralelas a la velocidad. Esto permite tratar el movimiento rectilíneo mediante ecuaciones escalares, sin necesidad, de usar el formalismo de vectores.

Movimiento rectilíneo en mecánica clásica

En el movimiento rectilíneo, la trayectoria que describe el móvil es una línea recta. Algunos tipos notables de movimiento rectilíneo son:

• Movimiento rectilíneo uniforme: cuando la velocidad es constante:
• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: cuando la aceleración es constante.
• Movimiento armónico unidimensional: oscilación sinusoidal alrededor de un punto de equilibrio

Ecuaciones del movimiento

La trayectoria de una partícula es rectilínea cuando su aceleración es nula (sin serlo la velocidad) o cuando su aceleración no tiene componente normal a la velocidad. El movimiento rectilíneo es, pues, un caso particular del movimiento general en el espacio, pero debido a la abundancia de problemas y situaciones en que lo encontraremos, le dedicaremos una atención especial. Puesto que los vectores $\mathbf v\,$ y $\mathbf a\,$ están dirigidos a lo largo de la trayectoria, será conveniente escoger el origen O sobre ella de modo que el vector de posición $\mathbf r\,$ también estará situado sobre ella. Entonces, al ser paralelos entre sí todos los vectores que nos describen el movimiento de la partícula podemos prescindir de la notación vectorial.

Si tomamos el eje x en la dirección de la trayectoria y especificamos una cierta dirección como positiva, las ecuaciones de definición de la velocidad y de la aceleración se reducen a la componente x, o sea

$v=\frac{dx}{dt} \qquad\qquad a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$

de modo que, si conocemos $x=x(t)\,$ podemos obtener la velocidad y la aceleración de la partícula, i.e., $v=v(t)\,$ y $a=a(t)\,$, mediante dos derivaciones sucesivas. En algunos casos conoceremos $a=a(t)\,$ y, entonces, por integración (y conociendo las condiciones iniciales $v_0\,$ y $x_0\,$) podemos obtener $v=v(t)\,$ y $x=x(t)\,$.

Podemos encontrar otra relación cinemática importante aplicando a la definición de la aceleración la regla de derivación de una función de función. Así, obtenemos la expresión

$a=\frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt}= v\frac{dv}{dx}$

que nos resultará de gran utilidad cuando conozcamos $a=a(x)\,$ o $v=v(x)\,$.

En la Tabla presentamos el modo de abordar diversos problemas de movimiento rectilíneo.

Movimiento rectilineo uniformemente acelerado

Las expresiones anteriores aplicadas al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (a=cte) nos llevan a las bien conocidas relaciones

$v=v_0+at \qquad \qquad x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \qquad \qquad v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$

que se reducen a

$x=x_0+vt\,$

para el movimiento rectilíneo uniforme (a=0, v=cte).

Expresiones para el movimiento rectilíneo uniforme

Conocemos	Se aplica	Se obtiene	Es decir
$\ a = a(t)$	$\ dv = a\ dt$	$\ v= v_0 + \int a\ dt$	$\ v = v(t)$
$\ v = v(t)$	$\ dx = v\ dt$	$\ x= x_0 + \int v\ dt$	$\ x = x(t)$
$\ a = a(x)$	$\ v\ dv = a\ dx$	$\ v^2= v^2_0 + 2 \int a\ dx$	$\ v= v(x)$
$\ v = v(x)$	$\ dt = dx/v$	$\ t= t_0 + \int dx/v$	$\ t= t(x)$
$\ a=a(v)$	$\ dx = v.dv/a$	$\ x= x_0 + \int v\ dv/a$	$\ x= x(v)$
	$\ dt = dv/a$	$\ t = t_0 + \int dv/a$	$\ t= t(v)$

Movimiento rectilíneo en mecánica relativista

En el caso relativista las ecuaciones del movimiento son algo más complejas que en el caso newtoniano clásico. La relación entre la fuerza y la velocidad en el movimiento rectilíneo viene dada por:

$F = \frac{ma}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}$

La velocidad viene dada en función de la fuerza por:

$v(t) = \frac{\beta(t)c}{\sqrt{\beta(t)^2+c^2}}, \qquad \beta(t):= \frac{v_0}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}} + \int_0^t \frac{F(\tau)}{m}d\tau$

Fuerza constante

El movimiento rectilíneo relativista bajo una fuerza constante en la teoría de la relatividad es un movimiento progresivamente desacelerado, en que la velocidad límite viene dada por la velocidad de la luz. Si el cuerpo parte del resposo la evolución de la velocidad y la distancia recorrida son:

$v(t) = c\frac{Ft}{\sqrt{F^2t^2+m^2c^2}} \qquad x(t) = c \left( \sqrt{t^2 + \frac{m^2c^2}{F^2}} - \frac{mc}{F} \right)$

Movimiento rectilíneo en mecánica cuántica

En mecánica cuántica no se puede hablar de trayectorias, ya que la posición de la partícula no puede determinarse con precisión arbitraria para cada instante. Sin embargo, existen algunos sistemas cuánticos con características similares a los movimientos rectilíneos de la mecánica clásica, si las fuerzas que provocan el movimiento rectilíneo son conservativas el equivalente cuántico para una partícula (no relativista y sin espín) viene dado por:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \Psi(x,t)}{\part x^2} + V(x)\Psi(x,t) = i\hbar\frac{\part \Psi(x,t)}{\part t}$

Donde:

$\hbar\,$ es la constante de Planck racionalizada.

$m\,$ es la masa de la partícula.

$\Psi(x,t)\,$ es la función de onda que describe la partícula en el instante t.

$V(x)\,$ es el potencial asociado a las fuerzas actuantes.

$i = \sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria.

Las soluciones de la ecuación anterior se pueden reescribir como:

$\Psi(x,t) = \sum_n A_n \psi_{E_n}(x)e^{iE_nt/\hbar} + \int_{V_L}^\infty A(E) \psi_E(x) e^{-Et/\hbar}\ dE$

El sumatorio del segundo miembro representa los estados ligados del potencial, mientras que la integral representa a los estados de colisión o estados no ligados del potencial y donde El valor $\scriptstyle V_L = \min(V_-,V_+)$ depende de los valores del potencial en $\scriptstyle \pm \infty$ (ver a continuación) y las funciones $\scriptstyle \psi_n(x), \psi_E(x)$ son soluciones de la siguiente ecuación diferencial:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \psi(x)}{\part x^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

Los estados pueden clasificarse en ligados o no ligados en función de los siguientes valores del potencial:

$V_+ = \lim_{x\to +\infty} V(x), \quad V_- = \lim_{x\to -\infty} V(x), \quad V_0 = \inf V(x)$

De la siguiente manera:

1. Si $\scriptstyle V_0 < E < \min(V_-,V_+)$ el estado es ligado, y para partículas sin espín es un estado no degenerado, y el valor de E pertenece al espectro puntual del hamiltoniano cuántico, existiendo una número finito o infinito numerable de posibles estados en esta situación.
2. Si $\scriptstyle \min(V_-,V_+) \le E < \max(V_-,V_+)$ el estado es no ligado y no degenerado, el valor de E pertenece al espectro continuo del hamiltoniano.
3. Si $\scriptstyle \max(V_-,V_+) \le E$ el estado es no ligado y doblemente degenerado, el valor de E pertenece al espectro continuo del hamiltoniano.

Fuerza constante

Una partícula de masa m sin espín sometida a una fuerza constante puede representarse como una ecuación del tipo anterior con:

$V(x) = -Fx, \qquad V_- = -\infty,\quad V_+ = +\infty, \quad V_L = -\infty$

Por tanto de acuerdo con las reglas del final de la última sección el hamiltoniano tiene espectro continuo formado por estados no degenerados. Más concretamente cualquier estado puede representarse como "combinación continua" de la siguiente forma:

$\Psi(x,t)= \left(\frac{m}{\hbar^2F^2}\right)^{1/3} \int_{-\infty}^{+\infty} A(E)\ \hat{\psi}(x;E)e^{-iEt/\hbar}\ dE$

Donde:

$A(E)\,$, es una función de amplitud que debe escogerse para satisfacer las condiciones de localización inicial de la partícula.

$\hat{\psi}(x;E) = \psi_E(x) = N_E \mathrm{Ai}\left[\left( \frac{2m}{\hbar^2 F} \right)^{1/3} (Fx +E)\right]$

es una solución del siguiente problema estacionario:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\part^2 \psi_E}{\part x^2} - xF \psi_E(x) = E\psi_E(x), \qquad \psi_E(x):= \hat{\psi}(x;E)$

Oscilador armónico

Una partícula de masa m sin espín sometida a un potencial cuadrático ejecuta en mecánica clásica un movimiento armónico simple, el equivalente cuántico de este movimiento, es el de una partícula sometida al potencial:

$V(x) = \frac{m\omega^2x^2}{2}, \qquad V_- = +\infty,\quad V_+ = +\infty, \quad V_L = 0$

Por lo que por lo expuesto anteriormente el espectro de posibles energías de la partícula será puramente puntual (es decir, será una combinación de funciones de niveles energéticos separados). Los posibles valores de la energía son:

$E_n = \hbar\omega\left( n + \frac{1}{2} \right)$

y las funciones de onda asociadas son:

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} e^{\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right)} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

donde $\scriptstyle H_n$ son los polinomios de Hermite.

Véase también

• Movimiento rectilíneo uniforme
• Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
• Movimiento armónico simple

Referencias

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006) (en español). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001) (en inglés). Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004) (en inglés). Physics for Scientists and Engineers (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000) (en español). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

• Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Franco García.