Matriz idempotente

Una matriz idempotente es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir:

A es idempotente si A A = A.

Si representamos el producto $AA \,$ por $A^2 \,$, entonces $A \,$ es idempotente sólo si: $A^2 = A \,$.

En general, la idempotencia hace referencia a una operación que, si se repite, produce el mismo resultado que si se llevara a cabo una sola vez. En el caso de la matriz idempotente se cumple que: $\boldsymbol A^n = \boldsymbol A^2 = \boldsymbol A$. La ecuación anterior muestra que realizar el producto un número finito de veces produce el mismo resultado que realizarlo una sola vez. Un caso particular de matriz idempotente es una matriz de proyección.

Ejemplos de matrices idempotentes

Ejemplos de matrices idempotentes son la matriz nula y la matriz unidad: $\quad \boldsymbol O ^2 = \boldsymbol O \, \qquad \boldsymbol I^2 = \boldsymbol I \quad$.

Algunas formulas de matrices idempotentes:

Si a comprendida entre {0 y 1}

$A = \begin{pmatrix} a & \sqrt {a-a^2}\\ \sqrt {a-a^2} & 1-a\\ \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ a & 0\\ \end{pmatrix}$

Por ejemplo, la siguiente matriz es idempotente:

$A = \begin{pmatrix} 2/3 & 1/3\\ 2/3 & 1/3\\ \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

Nota: No debe ser necesariamente simétrica.

O sea: la matriz elevada al cuadrado va a ser la misma matriz sin elevarla. Nota: su determinante va a valer 0 o 1