Matriz de diagonal estrictamente dominante

En matemáticas, y concretamente en álgebra lineal, una matriz es de diagonal estrictamente dominante, cuando lo es por filas o por columnas.

• Lo es por filas cuando, para todas las filas, el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa fila es estrictamente mayor que la suma de los valores absolutos del resto de elementos de esa fila.
• Lo es por columnas cuando, para todas las columnas, el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa columna es estrictamente mayor que la suma de los valores absolutos del resto de elementos de esa columna.

Formalmente, se dice que la matriz A de n x n es estrictamente diagonal dominante cuando se satisface:

$|a_{i,i}| > \sum^n_{j=1, j \neq i} |a_{i,j}|, \forall i=\{1,...,n\}$

Lema de Hadamard

Enunciado

Si $A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!] })$ es una matriz de diagonal esctrictamente dominante, entonces $A$ es inversible.

Demostración

Por la contrapuesta. Supongamos que $A$ no es inversible, entonces su núcleo no se reduce a cero
existe entonces un vector : $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \neq 0$ tal que $AX=0$ .
Entonces, se tiene que: $\forall i \in [\![1,n]\!],\ \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j =0 .$
Como $X \neq 0$, existe $x_{i_0} \neq 0$ tal que $|x_{i_0}|=\max \left\{{|x_i|, i \in [\![1,n]\!]}\right\}$.
Tenemos : $-a_{i_0,i_0}x_{i_0}=\sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n a_{i_0,j}x_j$ , de donde $|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}x_j|$ ,
y como : $\forall j \in [\![1,n]\!],\ \frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant 1$ ,
se obtiene $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$
Finalmente, $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$ , contradicción con la que culmina la demostración.

Podemos enunciar a partir de esta definición el siguiente teorema de convergencia aplicable a los procesos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel:

Sea A una matriz cuadrada, si A es diagonal dominante, los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema de ecuaciones Ax=b.