Matriz elemental

Las matrices elementales son aquellas que se obtienen a partir de una única operación elemental de matrices sobre la matriz identidad.
Estas son:

1. Escalamiento: multiplicar una fila por un número.
2. Eliminación: sumar a una fila una combinación lineal de las restantes.
3. Permutación: intercambiar dos filas.

Las matrices tienen esta forma (en el caso 3X3):

Obtenidas por escalamiento

$\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \\ \end{pmatrix}$

Obtenidas por eliminación

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ \end{pmatrix}$

Análogamente, el número a puede estar encima de la diagonal.

Obtenidas por permutación

Véase: matriz permutación

Propiedades

Si multiplicamos alguna de estas matrices por una matriz A, será como aplicar las operaciones elementales de matrices. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas, y estas pueden ser calculadas de manera simple pensando en ellas como matrices A a las que se debe aplicar la operación "inversa".

Por ejemplo, para el caso de una matriz obtenida por escalamiento:

$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \\ \end{pmatrix}$ Queremos que el elemento $a_{33}$ sea 1. Entonces: $A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1/a\\ \end{pmatrix}$

Para el caso de una matriz obtenida por eliminación:

$A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ Queremos que el elemento $a_{21}$ sea 0. Entonces: $A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$