Matrices de Pauli

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Las matrices de Pauli, deben su nombre a Wolfgang Ernst Pauli, son matrices usadas en física cuántica en el contexto del momento angular intrínseco o espín. Matemáticamente, las matrices de Pauli constituyen una base vectorial del álgebra de Lie del grupo especial unitario SU(2), actuando sobre la representación de dimensión 2.

Contenido

[editar] Forma de las matrices

Cumplen las reglas de conmutación del álgebra de Lie \mathfrak{su}(2):

\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\ \epsilon_{ijk}\ \sigma_k

Donde:

\epsilon_{ijk}\; es el Símbolo de Levi-Civita (pseudotensor totalmente antisimétrico).

También satisfacen la siguiente regla de anticonmutación

\left \{\sigma_i,\sigma_j \right \}=\sigma_i\sigma_j+\sigma_j\sigma_i=2\delta_{ij}I\

Otras propiedades importantes son:

\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
\operatorname{det} (\sigma_i) = -1
\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0

[editar] Caso de espín 1/2

Las matrices de Pauli son tres, al igual que la dimensión del álgebra del Lie del grupo SU(2). En su representación lineal más común tienen la siguiente forma:

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

[editar] Caso de espín 1

Por abuso de lenguaje se suele llamar matrices de Pauli a otras representaciones lineales diferentes a las usadas en el caso de espín 1/2 anterior. Por ejemplo para representar el espín de una partícula con valor 1, se usa la representación lineal mediante matrices de 3x3 siguiente:

J_x = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix} \qquad J_y = \frac\hbar\sqrt{2} \begin{pmatrix} 0&-i&0\\ i&0&-i\\ 0&i&0 \end{pmatrix} \qquad J_z = \hbar \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}

[editar] Caso de espín 3/2

Análogamente al caso anterior para espín 3/2 es común usar la siguiente representación:

J_x = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&\sqrt{3}&0&0\\ \sqrt{3}&0&2&0\\ 0&2&0&\sqrt{3}\\ 0&0&\sqrt{3}&0 \end{pmatrix} \qquad J_y = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 0&-i\sqrt{3}&0&0\\ i\sqrt{3}&0&-2i&0\\ 0&2i&0&-i\sqrt{3}\\ 0&0&i\sqrt{3}&0 \end{pmatrix} \qquad J_z = \frac\hbar2 \begin{pmatrix} 3&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}

[editar] Aplicaciones

Las matrices de Pauli tienen gran utilidad en mecánica cuántica. La aplicación más conocida es la representación del operador de espín para una partícula de espín 1/2, como un electrón, un neutrón o un protón. Así el observable que sirve para medir al espín, o momento angular intrínseco, de un electrón, en la dirección i, viene dado por el operador autoadjunto:

\hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_i

En la representación convencional, los autoestados de espín corresponden a los vectores:

\left \{| \uparrow \rangle = (1,0); | \downarrow \rangle = (0,1) \right\}

[editar] Véase también

  1. Momento angular.
  2. Espín.
  3. Mecánica cuántica.
  4. Álgebra de Lie.

[editar] Notas

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Matrices_de_Pauli"
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